向量-习题
题目大纲
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设向量 u = (1, 2)和向量 v = (3, –4)。写出下列各式的演算过程，并在 2D 坐标系内画出相应的向量
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设向量 u = (−1, 3, 2)和向量 v = (3, −4, 1)。写出下列问题的解答过程
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证明式子
(a) $ \vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u} $ （加法交换律）
(b) $ \vec{u} + (\vec{v} + \vec{w}) = (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} $ （加法结合律）
(c) $ (ck)\vec{u} = c(k\vec{u}) $ （标量乘法的结合律）
(d) $ k(\vec{u} + \vec{v}) = k\vec{u} + k\vec{v} $ （分配律 1）
(e) $ \vec{u}(k + c) = k\vec{u} + c\vec{u} $ （分配律 2）
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根据等式 “2[(1, 2, 3) − x] − (−2, 0, 4) = −2(1, 2, 3)"，求其中的向量 x。
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设向量 u = (−1, 3, 2)和向量 v = (3, −4, 1)。对 u 和 v 进行规范化处理。
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设 k 为标量，$向量 u = (u_x, u_y, u_z)。求证||ku|| = ||k|| ||u||$
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下列各组向量中，u 与 v 之间的夹角是直角、锐角还是钝角？
（a）u = (1, 1, 1)，v = (2, 3, 4)
（b）u = (1, 1, 0)，v = (−2, 2, 0)
（c）u = (−1, −1, −1)，v = (3, 1, 0)
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设向量 u = (−1, 3, 2)和向量 v = (3, −4, 1)。计算 u 和 v 之间的夹角 θ
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设向量 $ u = (u_x, u_y, u_z)、v = (v_x, v_y, v_z)和 w = (w_x, w_y, w_z)，且 c 和 k 为标量。证明下列点积性质。
（a）$ \vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u} $
（b）$ \vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w} $
（c）$ k(\vec{u} \cdot \vec{v}) = (k\vec{u}) \cdot \vec{v} = \vec{u} \cdot (k\vec{v}) $
（d）$ \vec{v} \cdot \vec{v} = ||v||^2 $
（e）$ 0 \cdot \vec{v} = 0 $
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利用余弦定理 （ $ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos\theta $ ，其中 a、b、c 分别是三角形 3 条边的边长， θ 为 a 与 b 之间的夹角）来证明：$ u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z = ||u|| ||v|| \cos\theta $
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设向量 n = (−2, 1)。将向量 g = (0, −9.8) 分解为两个相互正交的向量之和，使它们一个平行于 n、 一个正交于 n。最后，在同一 2D 坐标系中画出这些向量。
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设向量 u = (−2, 1, 4)和向量 v = (3, −4, 1)。求向量 w = u × v ，再证明 w⋅ u= 0 及 w ⋅ v= 0 。
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设 A = (0, 0, 0)，B = (0, 1, 3)和 C = (5, 1, 0)三点在某坐标系中定义了一个三角形。求出一正交于此三角形的向量。
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证明 $ \Vert \vec{u} \times \vec{v} \Vert = \Vert \vec{u} \Vert \Vert \vec{v} \Vert \sin\theta $
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证明：由向量 u 和向量 v 张成的平行四边形面积为|| u × v || ，如图 1.21 所示。
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举例证明：存在 3D 向量 u、v 和 w，满足 u x (v x w) ≠ (u x v) x w 。这说明叉积一般不满足结合律。
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证明两个非零且相互平行向量的叉积为零向量，即 $ \vec{u} \times k\vec{u} = 0 $。
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利用格拉姆—施密特正交化方法，令向量集 {(1, 0, 0), (1, 5, 0), (2, 1, −4)} 规范正交化。
第一题
设向量 u = (1, 2)和向量 v = (3, –4)。写出下列各式的演算过程，并在 2D 坐标系内画出相应的向量 $$ \begin{align*} \vec{u} + \vec{v} &= (u_x + v_x, u_y + v_y) \\ \\ &= (1 + 3, 2 + (-4)) \\ \\ &= (4, -2) \end{align*} $$
$$ \begin{align*} \vec{u} - \vec{v} &= (u_x - v_x, u_y - v_y) \\ \\ &= (1 - 3, 2 - (-4)) \\ \\ &= (-2, 6) \end{align*} $$
$$ \begin{align*} 2\vec{u} + \frac{1}{2} \vec{v} &= (2u_x, 2u_y) + (\frac{1}{2} v_x, \frac{1}{2} v_y) \\ \\ &= (2u_x + \frac{1}{2} v_x, 2u_y + \frac{1}{2} v_y) \\ \\ &= (2 + 1.5, 4 + (-2)) \\ \\ &= (3.5, 2) \end{align*} $$
$$ \begin{align*} -2\vec{u} + \vec{v} &= (-2u_x, -2u_y) + (v_x,v_y) \\ \\ &= (-2u_x + v_x, -2u_y, v_y) \\ \\ &= (-2 + 3, -4 + -4) \\ \\ &= (1, -8) \end{align*} $$
第二题
设向量 u = (−1, 3, 2)和向量 v = (3, −4, 1)。写出下列问题的解答过程 $$ \begin{align*} \vec{u} + \vec{v} &= (u_x + v_x, u_y + v_y, u_z + v_z) \\ \\ &= (-1 + 3, 3 + (-4), 2 + 1) \\ \\ &= (2, -1, 3) \end{align*} $$
$$ \begin{align*} \vec{u} - \vec{v} &= (u_x - v_x, u_y - v_y, u_z - v_z) \\ \\ &= (-1 - 3, 3 - (-4), 2 - 1) \\ \\ &= (-4, 7, 1) \end{align*} $$
$$ \begin{align*} 3\vec{u} + 2\vec{v} &= (3u_x, 3u_y, 3u_z) + (2v_x, 2v_y, 2v_z) \\ \\ &= (-3, 9, 6) + (6, -8, 2) \\ \\ &= (-3 + 6, 9 + (-8), 6 + 2) \\ \\ &= (3, 1, 8) \end{align*} $$
$$ \begin{align*} -2\vec{u} + \vec{v} &= (-2u_x, -2u_y, -2u_z) + (v_x, v_y, v_z) \\ \\ &= (2, -6, -4) + (3, -4, 1) \\ \\ &= (2 + 3, -6 + (-4), -4 + 1) \\ \\ &= (5, -10, -3) \end{align*} $$
第三题
(a) $ \vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u} $ （加法交换律） $$ \vec{u} + \vec{v} = (u_x + v_x, u_y + v_y, u_z + v_z) = (v_x + u_x, v_y + u_y, v_z + u_z) = \vec{v} + \vec{u} $$ (b) $ \vec{u} + (\vec{v} + \vec{w}) = (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} $ （加法结合律） $$ \begin{align*} \vec{u} + (\vec{v} + \vec{w}) &= (u_x, u_y, u_z) + (v_x + w_x, v_y + w_y, v_z + w_z) \\ \\ &= (u_x + (v_x + w_x), u_y + (v_y + w_y), u_z + (v_z + w_z)) \\ \\ &= ((u_x + v_x) + w_x, (u_y + v_y) + w_y, (u_z + v_z) + w_z) \\ \\ &= (u_x + v_x, u_y + v_y, u_z + v_z) + (w_x, w_y, w_z) \\ \\ &= (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} \end{align*} $$ (c) $ (ck)\vec{u} = c(k\vec{u}) $ （标量乘法的结合律） $$ \begin{align*} (ck)\vec{u} &= (ck)(u_x, u_y, u_z) \\ \\ &= ((ck)u_x, (ck)u_y, (ck)u_z) \\ \\ &= (c(ku_x), c(ku_y), c(ku_z)) \\ \\ &= c(k\vec{u}) \end{align*} $$ (d) $ k(\vec{u} + \vec{v}) = k\vec{u} + k\vec{v} $ （分配律 1） $$ \begin{align*} k(\vec{u} + \vec{v}) &= k(u_x + v_x, u_y + v_y, u_z + v_z) \\ \\ &= (ku_x + kv_x, ku_y + kv_y, ku_z + kv_z) \\ \\ &= k\vec{u} + k\vec{v} \end{align*} $$ (e) $ \vec{u}(k + c) = k\vec{u} + c\vec{u} $ （分配律 2） $$ \begin{align*} \vec{u}(k + c) &= (u_x(k+c), u_y(k+c), u_z(k+c)) \\ \\ &= (ku_x + cu_x, ku_y + cu_y, ku_z + cu_z) \\ \\ &= k\vec{u} + c\vec{u} \end{align*} $$
第四题
根据等式 “2[(1, 2, 3) − x] − (−2, 0, 4) = −2(1, 2, 3)"，求其中的向量 x。 $$ \begin{align*} 2[(1, 2, 3) − \vec{x}] − (−2, 0, 4) &= -2(1, 2, 3) \\ \\ [(2, 4, 6) - 2(\vec{x})] - (-2, 0, 4) &= (-2, -4, -6) \\ \\ [(2, 4, 6) - 2(\vec{x})] &= (-2, -4, -6) + (-2, 0, 4) \\ \\ [(2, 4, 6) - 2(\vec{x})] &= (-4, -4, -2) \\ \\ - 2(\vec{x}) &= (-4, -4, -2) - (2, 4, 6) \\ \\ 2(\vec{x}) &= - (-6, -8, -8) \\ \\ \vec{x} &= (3, 4, 4) \end{align*} $$
第五题
设向量 u = (−1, 3, 2)和向量 v = (3, −4, 1)。对 u 和 v 进行规范化处理。 $$ \begin{align*} \vec{u} = \frac{\vec{u}}{\Vert \vec{u} \Vert} = \frac{(u_x, u_y, u_z)}{\sqrt{u_x^2 + u_y^2 + u_z^2}} = \frac{(-1, 3, 2)}{\sqrt{1 + 9 + 4}} = \frac{(-1, 3, 2)}{\sqrt{14}} = (\frac{-1}{\sqrt{14}}, \frac{3}{\sqrt{14}}, \frac{2}{\sqrt{14}}) \\ \\ \vec{v} = \frac{\vec{v}}{\Vert \vec{v} \Vert} = \frac{(v_x, v_y, v_z)}{\sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}} = \frac{(3, -4, 1)}{\sqrt{9 + 16 + 1}} = \frac{(3, -4, 1)}{\sqrt{26}} = (\frac{3}{\sqrt{26}}, \frac{-4}{\sqrt{26}}, \frac{1}{\sqrt{26}}) \end{align*} $$
第六题
设 k 为标量，$向量 u = (u_x, u_y, u_z)。求证||ku|| = ||k|| ||u||$ $$ \begin{align*} ||ku|| &= ||ku_x, ku_y, ku_z|| \\ \\ &= \sqrt{(ku_x)^2 + (ku_y)^2 + (ku_z)^2} \\ \\ &= \sqrt{k^2u_x^2 + k^2u_y^2 + k^2u_z^2} \\ \\ &= \sqrt{k^2 + (u_x^2, u_y^2, u_z^2)} \\ \\ &= \sqrt{k^2} + \sqrt{\vec{u}^2} \\ \ &= ||k|| + ||\vec{u}|| \end{align*} $$
第七题
下列各组向量中，u 与 v 之间的夹角是直角、锐角还是钝角？
（a）u = (1, 1, 1)，v = (2, 3, 4) $$ \begin{gather*} \vec{u} \cdot \vec{v} = ||u|| ||v|| \cos\theta \\ \\ \cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||u|| ||v||} \\ \\ \cos\theta = \frac{u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z}{\sqrt{u_x^2 + u_y^2 + u_z^2} \cdot \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}} \\ \\ \cos\theta = \frac{2 + 3 + 4}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{29}} \\ \\ \cos\theta = \frac{9}{\sqrt{87}} \\ \\ 因\cos\theta > 0, 故为锐角 \\ \\ 如果想求出角度 则可以 θ=arccos(\frac{9}{\sqrt{87}})≈15.8^\circ \end{gather*} $$
（b）u = (1, 1, 0)，v = (−2, 2, 0) $$ \begin{gather*} \vec{u} \cdot \vec{v} = ||u|| ||v|| \cos\theta \\ \\ \cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||u|| ||v||} \\ \\ \cos\theta = \frac{u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z}{\sqrt{u_x^2 + u_y^2 + u_z^2} \cdot \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}} \\ \\ \cos\theta = \frac{-2 + 2 + 0}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}} \\ \\ \cos\theta = \frac{0}{\sqrt{16}} = 0 \\ \\ 因\cos\theta = 0, 故为直角 \end{gather*} $$ （c）u = (−1, −1, −1)，v = (3, 1, 0) $$ \begin{gather*} \vec{u} \cdot \vec{v} = ||u|| ||v|| \cos\theta \\ \\ \cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||u|| ||v||} \\ \\ \cos\theta = \frac{u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z}{\sqrt{u_x^2 + u_y^2 + u_z^2} \cdot \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}} \\ \\ \cos\theta = \frac{(-3) + (-1) + 0}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{10}} \\ \\ \cos\theta = \frac{-4}{\sqrt{30}} \\ \\ 因\cos\theta < 0, 故为钝角 \end{gather*} $$
第八题
设向量 u = (−1, 3, 2)和向量 v = (3, −4, 1)。计算 u 和 v 之间的夹角 θ $$ \begin{gather*} \vec{u} \cdot \vec{v} = ||u|| ||v|| \cos\theta \\ \\ \cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||u|| ||v||} \\ \\ \cos\theta = \frac{u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z}{\sqrt{u_x^2 + u_y^2 + u_z^2} \cdot \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}} \\ \\ \cos\theta = \frac{(-3) + (-12) + 2}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{26}} \\ \\ \cos\theta = \frac{-13}{\sqrt{2\sqrt{91}}} \\ \\ θ=arccos(\frac{-13}{2\sqrt{91}})≈123.7^\circ \end{gather*} $$
第九题
设向量 $ u = (u_x, u_y, u_z)、v = (v_x, v_y, v_z)和 w = (w_x, w_y, w_z)，且 c 和 k 为标量。证明下列点积性质。
（a）$ \vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u} $ $$ \begin{align*} \vec{u} \cdot \vec{v} &= (u_x, u_y, u_z) + (v_x, v_y, v_z) \\ \\ &= (u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z) \\ \\ &= (v_x, v_y, v_z) + (u_x, u_y, u_z) \\ \\ &= \vec{v} \cdot \vec{u} \end{align*} $$ （b）$ \vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w} $ $$ \begin{align*} \vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) &= (u_x, u_y, u_z) \cdot ((v_x + w_x, v_y + w_y, v_z + w_z)) \\ \\ &= u_x(v_x + w_x) + u_y(v_y + w_y) + u_z(v_z + w_z) \\ \\ &= (u_x v_x + u_x w_x) + (u_y v_y + u_y w_y) + (u_z v_z + u_z w_z) \\ \\ &= (u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z) + (u_x w_x + u_y w_y + u_z w_z) \\ \\ &= \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w} \end{align*} $$ （c）$ k(\vec{u} \cdot \vec{v}) = (k\vec{u}) \cdot \vec{v} = \vec{u} \cdot (k\vec{v}) $ $$ \begin{align*} k(\vec{u} \cdot \vec{v}) &= k(u_x v_y + u_y v_y + u_z v_z) \\ \\ &= (ku_x)v_x + (ku_y)v_y + (ku_z)v_z \\ \\ &= (k\vec{u}) \cdot \vec{v} \\ \\ &= u_x(kv_x) + u_y(kv_y) + u_z(kv_z) \\ \\ &= \vec{u} \cdot (k\vec{v}) \end{align*} $$ （d）$ \vec{v} \cdot \vec{v} = ||v||^2 $ $$ \begin{align*} \vec{v} \cdot \vec{v} &= v_x v_x + v_y v_y + v_z v_z \\ \\ &= v_x^2 + v_y^2 + v_z^2 \\ \\ &= \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}^2 \\ \\ &= ||v||^2 \end{align*} $$ （e）$ 0 \cdot \vec{v} = 0 $ $$ \begin{align*} 0 \cdot \vec{v} &= 0v_x + 0v_y + 0v_z \\ \\ &= 0 + 0 + 0 \\ \\ &= 0 \end{align*} $$
第十题
利用余弦定理 （ $ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos\theta $ ，其中 a、b、c 分别是三角形 3 条边的边长， θ 为 a 与 b 之间的夹角）来证明：$ u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z = ||u|| ||v|| \cos\theta $ $$ \begin{gather*} c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos\theta \\ \\ ||w||^2 = ||u||^2 + ||v||^2 - 2||u|| ||v|| \cos\theta ~~~~~~ (因为 c a b都是各边对应的模) \\ \\ ||w||^2 = (\vec{u} - \vec{v})^2 = ||u||^2 + ||v||^2 - 2(\vec{u} \cdot \vec{v}) ~~~~~ (点积分配律) \\ \\ ||u||^2 + ||v||^2 - 2||u|| ||v|| \cos\theta = ||u||^2 + ||v||^2 - 2(\vec{u} \cdot \vec{v}) ~~~~~ (||w||^2 = ||w||^2) \\ \\ - 2||u|| ||v|| \cos\theta = - 2(\vec{u} \cdot \vec{v}) \\ \\ ||u|| ||v|| \cos\theta = \vec{u} \cdot \vec{v} \end{gather*} $$
第十一题
设向量 n = (−2, 1)。将向量 g = (0, −9.8) 分解为两个相互正交的向量之和，使它们一个平行于 n、 一个正交于 n。最后，在同一 2D 坐标系中画出这些向量。
$$
\begin{align*}
\vec{g_{||}}
&= proj_n(\vec{g})
\\ \\
&= (\vec{g} \cdot \frac{\vec{n}}{\Vert \vec{n} \Vert})\frac{\vec{n}}{\Vert \vec{n} \Vert}
\\ \\
&= (\frac{(\vec{g} \cdot \vec{n})}{\Vert \vec{n} \Vert ^ 2}) \vec{n}
\\ \\
&= (\frac{(g_x n_x + g_y n_y)}{\sqrt{n_x^2 + n_y^2}}) (-2, 1)
\\ \\
&= (\frac{(0 + (-9.8))}{\sqrt{5}})(-2, 1)
\\ \\
&= −1.96(−2,1)
\\ \\
&= (-3.92, −1.96)
\\ \\
\vec{g}_\perp &= \vec{g} - \vec{g_{||}}
\\ \\
&= (0, −9.8) − (3.92, −1.96)
\\ \\
&= (−3.92, −7.84)
\end{align*}
$$
第十二题
设向量 u = (−2, 1, 4)和向量 v = (3, −4, 1)。求向量 w = u × v ，再证明 w⋅ u= 0 及 w ⋅ v= 0 。 $$ \begin{align*} \vec{w} = \vec{u} \times \vec{v} &= (u_y v_z - u_z v_y, u_z v_x - u_x v_z, u_x v_y - u_y v_x) \\ \\ &= (1 - (-16), 12 - (-2), 8 - 3) \\ \\ &= (17, 14, 5) \\ \\ \vec{w} \cdot \vec{u} &= (w_x u_x + w_y u_y + w_z u_z) \\ \\ &= (-34 + (14) + (20)) \\ \\ &= 0 \\ \\ \vec{w} \cdot \vec{v} &= (w_x v_x + w_y v_y + w_z v_z) \\ \\ &= (51 + (-56) + 5) \\ \\ &= 0 \end{align*} $$
第十三题
设 A = (0, 0, 0)，B = (0, 1, 3)和 C = (5, 1, 0)三点在某坐标系中定义了一个三角形。求出一正交于此三角形的向量。 $$ \begin{align*} \vec{AB} &= B - A = (0 - 0, 1 - 0, 3 - 0) = (0, 1, 3) \\ \\ \vec{AC} &= C - A = (5 - 0, 1 - 0, 0 - 0) = (5, 1, 0) \\ \\ \vec{ABC_\perp} &= \vec{AB} \times \vec{AC} \\ \\ &= (AB_y AC_z - AB_z AC_y, AB_z AC_x - AB_x AC_z, AB_x AC_y - AB_y AC_x) \\ \\ &= (0 - 3, 15 - 0, 0 - 5) \\ \\ &= (-3, 15, -5) \end{align*} $$
第十四题
证明 $ \Vert \vec{u} \times \vec{v} \Vert = \Vert \vec{u} \Vert \Vert \vec{v} \Vert \sin\theta $ $$ \begin{gather*} \Vert \vec{u} \times \vec{v} \Vert = \Vert \vec{u} \Vert \Vert \vec{v} \Vert \sin\theta \\ \\ \Vert \vec{u} \times \vec{v} \Vert = (u_y v_z - u_z v_y, u_z v_x - u_x v_z, u_x v_y - u_y v_z) \\ \\ \Vert \vec{u} \times \vec{v} \Vert^2 = (u_y v_z - u_z v_y)^2 + (u_z v_x - u_x v_z)^2 + (u_x v_y - u_y v_z)^2 \\ \\ \Vert \vec{u} \times \vec{v} \Vert^2 = (u_y^2 v_z^2 - 2u_yv_zu_zv_y + u_z^2 v_y^2) + (u_z^2 v_x^2 - 2u_zv_xu_xv_z + u_x^2 v_z^2) + (u_x^2 v_y^2 - 2u_xv_yu_yv_x + u_y^2 v_x^2) \\ \\ \Vert \vec{u} \Vert^2 \Vert \vec{v} \Vert^2 - (\vec{u} \cdot\vec{v})^2 = (u_y^2 v_z^2 + u_z^2 v_y^2) + (u_z^2 v_x^2 + u_x^2 v_z^2) + (u_x^2 v_y^2 + u_y^2 v_x^2) - 2(u_yv_zu_zv_y + u_zv_xu_xv_z + u_xv_yu_yv_x) \\ \\ \Vert \vec{u} \Vert^2 \Vert \vec{v} \Vert^2 - (\vec{u} \cdot\vec{v}) \end{gather*} $$
第十五题
证明：由向量 u 和向量 v 张成的平行四边形面积为 || u x v || ，如图 1.21 所示。
$$ A = \Vert \vec{v} \Vert h \\ \\ h = \Vert \vec{u} \Vert \sin\theta \\ \\ A = \Vert \vec{u} \Vert \Vert \vec{v} \Vert \sin\theta \\ \\ A = \Vert \vec{u} \times \vec{v} \Vert $$
第十六题
举例证明：存在 3D 向量 u、v 和 w，满足 u x (v x w) ≠ (u x v) x w 。这说明叉积一般不满足结合律。 $$ \begin{gather*} 设 \vec{u} = (1, 0, 0), \vec{v} = (1, 1, 0), \vec{w} = (0, 1, 1) \\ \\ \vec{u} \times (\vec{v} \times \vec{w}) = \vec{u} \times (1, -1, 1) = (0, -1, -1) \\ \\ (\vec{u} \times \vec{v}) \times \vec{w} = (0, 0, 1) \times \vec{w} = (-1, 0, 0) \\ \\ 故 \vec{u} \times (\vec{v} \times \vec{w}) \neq (\vec{u} \times \vec{v}) \times \vec{w} \end{gather*} $$
第十七题
证明两个非零且相互平行向量的叉积为零向量，即 $ \vec{u} \times k\vec{u} = 0 $。 $$ \begin{align*} \vec{u} \times k\vec{u} &= (u_y ku_z - u_z ku_y, u_z ku_x - u_x ku_z, u_x ku_y - u_y ku_x ) \\ \\ &= k(u_y u_z - u_z u_y, u_z u_x - u_x u_z, u_x u_y - u_y u_x) \\ \\ &= k(0, 0, 0) \\ \\ &= (0, 0, 0) \end{align*} $$
第十八题
利用格拉姆—施密特正交化方法，令向量集 {(1, 0, 0), (1, 5, 0), (2, 1, −4)} 规范正交化。