# 矩阵-习题 ## ***题目大纲*** 1. *求解下列矩阵方程中的矩阵 X* *$ 3(\begin{bmatrix}-2 & 0\\\ \\\ 1 & 3\end{bmatrix}- 2X) = 2\begin{bmatrix}-2 & 0\\\ \\\ 1 & 3\end{bmatrix} $* 2. *计算下列矩阵的乘积：* *（a）$ \begin{bmatrix}-2 & 0 & 3 \\\ \\\ 4 & 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\\ \\\ 0 & 6 \\\ \\\ 2 & -3 \end{bmatrix} $* *（b）$ \begin{bmatrix}1 & 2 \\\ \\\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2 & 0 \\\ \\\ 1 & 1 \end{bmatrix} $* *（c）$ \begin{bmatrix} 2 & 0 & 2 \\\ \\\ 0 & -1 & -3 \\\ \\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\\ \\\ 2 \\\ \\\ 1 \end{bmatrix} $* 3. *计算下列矩阵的转置矩阵* *（a）$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} $* *（b）$ \begin{bmatrix} x & y \\\ \\\ z & w \end{bmatrix} $* *（c）$ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\\ \\\ 3 & 4 \\\ \\\ 5 & 6 \\\ \\\ 7 & 8 \end{bmatrix} $* 4. *将下列线性组合写作向量与矩阵乘积的形式：* *（a）v = 2(1, 2, 3) − 4(−5, 0, −1) + 3(2, −2, 3)* *（b）v = 3(2, −4) + 2(1, 4) − 1(−2, −3) + 5(1, 1)* 5. *证明：$ AB = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\\ A_{31} & A_{32} & A_{33}\end{bmatrix}\begin{bmatrix} B_{11} & B_{12} & B_{13} \\\ B_{21} & B_{22} & B_{23} \\\ B_{31} & B_{32} & B_{33} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \leftarrow A_{1,\*}B \rightarrow \\\ \\\ \leftarrow A_{2,\*}B \rightarrow\\\ \\\ \leftarrow A_{3,\*}B \rightarrow \end{bmatrix} $* 6. *证明：$ A\vec{u} = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\\ y \\\ z \end{bmatrix} = xA\_{\*,1} + y A\_{\*,2} + zA\_{\*,3} $* 7. *证明向量的叉积可以用矩阵的乘积来表示：$ \vec{u} \times \vec{v} = \begin{bmatrix} v_x & v_y & v_z \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & u_z & -u_y \\\ \\\ -u_z & 0 & u_x \\\ \\\ u_y & -u_x & 0 \end{bmatrix} $* 8. *设矩阵A = $ \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\\ 0 & -1 & -3 \\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $, 那么请问矩阵B = $ \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 & - \frac{1}{2} \\\ 0 & -1 & -3 \\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $ 是 A 的逆矩阵吗* 9. *设矩阵A = $ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\\ 3 & 4 \end{bmatrix} $, 那么请问矩阵B = $ \begin{bmatrix} -2 & 1 \\\ \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix} $ 是A的逆矩阵吗* 10. *求下列矩阵的行列式：$ \begin{bmatrix} 21 & -4 \\\ 10 & 7 \end{bmatrix} 与 \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\\ 0 & 3 & 0 \\\ 0 & 0 & 7 \end{bmatrix} $* 11. *求下列矩阵的逆矩阵：$ \begin{bmatrix} 21 & -4 \\\ 10 & 7 \end{bmatrix} 与 \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\\ 0 & 3 & 0 \\\ 0 & 0 & 7 \end{bmatrix} $* 12. *下列矩阵是可逆矩阵吗？\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\\ \\\ 0 & 4 & 5 \\\ \\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}* 13. *假设矩阵A是可逆矩阵，证明 $ (A^{-1})^T = (A^T)^{-1} $* 14. *所有的线性代数书籍都会证明 $ det(AB) = detA \cdot detB $这一性质。设A和B皆为 n x n 矩阵，并假设A是可逆的，试根据 $ det I = 1 $与上述性质来证明 $ detA^{-1} = \frac{1}{detA}$* 15. *证明2D矩阵 $ \begin{bmatrix} u_x & u_y \\\ v_x & v_y \end{bmatrix} $的行列式得到的是：由 $ \vec{u} = (u_x, u_y) $与向量 $ \vec{v} = (v_x, v_y) $ 张成的平行四边形的有向面积。如果向量 u 以逆时针方向旋转角θ ∈(0, π) 能与向量 v 重合，则结果为正，否则为负。* ![矩阵第十五题](https://raw.githubusercontent.com/vlicecream/cloudImage/main/矩阵第十五题.png) 16. *求由下列向量张成的平行四边形面积：* 1. *u = (3, 0)与 v = (1, 1)* 2. *u = (−1, −1)与 v = (0, 1)* 17. *设 A = $ \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\\ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix} $. B = $ \begin{bmatrix} B_{11} & B_{12} \\\ B_{21} & B_{22} \end{bmatrix} $, C = $ \begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} \\\ C_{21} & C_{22} \end{bmatrix} $。证明 A(BC) = (AB)C。这个结论说明了 2 × 2矩阵之间的乘法运算满足结合律。（事实上，只要矩阵的乘法有意义，任意规模的矩阵乘法都满足结合律。）* ## ***第一题*** *求解下列矩阵方程中的矩阵 X $ 3(\begin{bmatrix}-2 & 0\\\ \\\ 1 & 3\end{bmatrix}- 2X) = 2\begin{bmatrix}-2 & 0\\\ \\\ 1 & 3\end{bmatrix} $* $$ \begin{gather*} 3(\begin{bmatrix}-2 & 0\\\ \\\ 1 & 3\end{bmatrix}- 2X) = 2\begin{bmatrix}-2 & 0\\\ \\\ 1 & 3\end{bmatrix} \\\ \\\ \begin{bmatrix} -6 & 0 \\\ \\\ 3 & 9 \end{bmatrix} - 6X = \begin{bmatrix} -4 & 0 \\\ \\\ 2 & 6 \end{bmatrix} \\\ \\\ -6X = \begin{bmatrix} -4 & 0 \\\ \\\ 2 & 6 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -6 & 0 \\\ \\\ 3 & 9 \end{bmatrix} \\\ \\\ -6X = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\\ \\\ -1 & -3 \end{bmatrix} \\\ \\\ X = \begin{bmatrix} -\frac{1}{3} & 0 \\\ \\\ \frac{1}{6} & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \end{gather*} $$ ## ***第二题*** *计算下列矩阵的乘积：* *（a）$ \begin{bmatrix}-2 & 0 & 3 \\\ \\\ 4 & 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\\ \\\ 0 & 6 \\\ \\\ 2 & -3 \end{bmatrix} $* $$ \begin{bmatrix}-2 & 0 & 3 \\\ \\\ 4 & 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\\ \\\ 0 & 6 \\\ \\\ 2 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -7 \\\ \\\ 6 & 5 \end{bmatrix} $$ *（b）$ \begin{bmatrix}1 & 2 \\\ \\\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2 & 0 \\\ \\\ 1 & 1 \end{bmatrix} $* $$ \begin{bmatrix}1 & 2 \\\ \\\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2 & 0 \\\ \\\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\\ \\\ -2 & 4 \end{bmatrix} $$ *（c）$ \begin{bmatrix} 2 & 0 & 2 \\\ \\\ 0 & -1 & -3 \\\ \\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\\ \\\ 2 \\\ \\\ 1 \end{bmatrix} $* $$ \begin{bmatrix} 2 & 0 & 2 \\\ \\\ 0 & -1 & -3 \\\ \\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\\ \\\ 2 \\\ \\\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\\ \\\ -5 \\\ \\\ 1 \end{bmatrix} $$ ## ***第三题*** *计算下列矩阵的转置矩阵* *（a）$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} $* $$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} 1 \\\ 2 \\\ 3 \end{bmatrix} $$ *（b）$ \begin{bmatrix} x & y \\\ \\\ z & w \end{bmatrix} $* $$ \begin{bmatrix} x & y \\\ \\\ z & w \end{bmatrix} ^ T = \begin{bmatrix} x & z \\\ \\\ y & w \end{bmatrix} $$ *（c）$ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\\ \\\ 3 & 4 \\\ \\\ 5 & 6 \\\ \\\ 7 & 8 \end{bmatrix} $* $$ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\\ \\\ 3 & 4 \\\ \\\ 5 & 6 \\\ \\\ 7 & 8 \end{bmatrix} ^ T = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 & 7 \\\ \\\ 2 & 4 & 6 & 8 \end{bmatrix} $$ ## ***第四题*** *将下列线性组合写作向量与矩阵乘积的形式：* *（a）v = 2(1, 2, 3) − 4(−5, 0, −1) + 3(2, −2, 3)* $$ \begin{bmatrix} 1 & -5 & 2 \\\ \\\ 2 & 0 & -2 \\\ \\\ 3 & -1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\\ \\\ -4 \\\ \\\ 3 \end{bmatrix} $$ *（b）v = 3(2, −4) + 2(1, 4) − 1(−2, −3) + 5(1, 1)* $$ \begin{bmatrix} 2 & 1 & -2 & 1 \\\ \\\ -4 & 4 & -3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\\ \\\ 2 \\\ \\\ -1 \\\ \\\ 5 \end{bmatrix} $$ ## ***第五题*** *证明：$ AB = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\\ A_{31} & A_{32} & A_{33}\end{bmatrix}\begin{bmatrix} B_{11} & B_{12} & B_{13} \\\ B_{21} & B_{22} & B_{23} \\\ B_{31} & B_{32} & B_{33} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \leftarrow A_{1,\*}B \rightarrow \\\ \\\ \leftarrow A_{2,\*}B \rightarrow\\\ \\\ \leftarrow A_{3,\*}B \rightarrow \end{bmatrix} $* $$ AB = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} B_{11} & B_{12} & B_{13} \\\ B_{21} & B_{22} & B_{23} \\\ B_{31} & B_{32} & B_{33} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \leftarrow A_{1,\*}B \rightarrow \\\ \\\ \leftarrow A_{2,\*}B \rightarrow \\\ \\\ \leftarrow A_{3,\*}B \rightarrow \end{bmatrix} $$ ## ***第六题*** *证明：$ A\vec{u} = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\\ y \\\ z \end{bmatrix} = xA\_{\*,1} + y A\_{\*,2} + zA\_{\*,3} $* $$ A\vec{u} = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\\ y \\\ z \end{bmatrix} = xA_{\*,1} + y A_{\*,2} + zA_{\*,3} $$ ## ***第七题*** *证明向量的叉积可以用矩阵的乘积来表示：$ \vec{u} \times \vec{v} = \begin{bmatrix} v_x & v_y & v_z \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & u_z & -u_y \\\ \\\ -u_z & 0 & u_x \\\ \\\ u_y & -u_x & 0 \end{bmatrix} $* $$ \vec{u} \times \vec{v} = \begin{bmatrix} v_x & v_y & v_z \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & u_z & -u_y \\\ \\\ -u_z & 0 & u_x \\\ \\\ u_y & -u_x & 0 \end{bmatrix} $$ ## ***第八题*** *设矩阵A = $ \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\\ 0 & -1 & -3 \\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $, 那么请问矩阵B = $ \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 & - \frac{1}{2} \\\ 0 & -1 & -3 \\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $ 是 A 的逆矩阵吗* $$ \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\\ 0 & -1 & -3 \\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 & - \frac{1}{2} \\\ 0 & -1 & -3 \\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$ ## ***第九题*** *设矩阵A = $ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\\ 3 & 4 \end{bmatrix} $, 那么请问矩阵B = $ \begin{bmatrix} -2 & 1 \\\ \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix} $ 是A的逆矩阵吗* $$ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2 & 1 \\\ \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix} $$ ## ***第十题*** *求下列矩阵的行列式：$ \begin{bmatrix} 21 & -4 \\\ 10 & 7 \end{bmatrix} 与 \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\\ 0 & 3 & 0 \\\ 0 & 0 & 7 \end{bmatrix} $* $$ \begin{bmatrix} 21 & -4 \\\ 10 & 7 \end{bmatrix} 与 \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\\ 0 & 3 & 0 \\\ 0 & 0 & 7 \end{bmatrix} $$ ## ***第十一题*** *求下列矩阵的逆矩阵：$ \begin{bmatrix} 21 & -4 \\\ 10 & 7 \end{bmatrix} 与 \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\\ 0 & 3 & 0 \\\ 0 & 0 & 7 \end{bmatrix} $* $$ \begin{bmatrix} 21 & -4 \\\ 10 & 7 \end{bmatrix} 与 \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\\ 0 & 3 & 0 \\\ 0 & 0 & 7 \end{bmatrix} $$ ## ***第十二题*** *下列矩阵是可逆矩阵吗？$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\\ \\\ 0 & 4 & 5 \\\ \\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $* $$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\\ \\\ 0 & 4 & 5 \\\ \\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$ ## ***第十三题*** *假设矩阵A是可逆矩阵，证明 $ (A^{-1})^T = (A^T)^{-1} $* ## ***第十四题*** *所有的线性代数书籍都会证明 $ det(AB) = detA \cdot detB $这一性质。设A和B皆为 n x n 矩阵，并假设A是可逆的，试根据 $ det I = 1 $与上述性质来证明 $ detA^{-1} = \frac{1}{detA}$* ## ***第十五题*** *证明2D矩阵 $ \begin{bmatrix} u_x & u_y \\\ v_x & v_y \end{bmatrix} $的行列式得到的是：由 $ \vec{u} = (u_x, u_y) $与向量 $ \vec{v} = (v_x, v_y) $ 张成的平行四边形的有向面积。如果向量 u 以逆时针方向旋转角θ ∈(0, π) 能与向量 v 重合，则结果为正，否则为负。* ![矩阵第十五题](https://raw.githubusercontent.com/vlicecream/cloudImage/main/矩阵第十五题.png) ## ***第十六题*** *求由下列向量张成的平行四边形面积：* 1. *u = (3, 0)与 v = (1, 1)* 2. *u = (−1, −1)与 v = (0, 1)* ## ***第十七题*** *设 A = $ \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\\ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix} $. B = $ \begin{bmatrix} B_{11} & B_{12} \\\ B_{21} & B_{22} \end{bmatrix} $, C = $ \begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} \\\ C_{21} & C_{22} \end{bmatrix} $。证明 A(BC) = (AB)C。这个结论说明了 2 × 2矩阵之间的乘法运算满足结合律。（事实上，只要矩阵的乘法有意义，任意规模的矩阵乘法都满足结合律。）*