矩阵-习题

题目大纲

1. 求解下列矩阵方程中的矩阵 X

   $ 3(\begin{bmatrix}-2 & 0\\ \\ 1 & 3\end{bmatrix}- 2X) = 2\begin{bmatrix}-2 & 0\\ \\ 1 & 3\end{bmatrix} $

2. 计算下列矩阵的乘积：

   （a）$ \begin{bmatrix}-2 & 0 & 3 \\ \\ 4 & 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ \\ 0 & 6 \\ \\ 2 & -3 \end{bmatrix} $

   （b）$ \begin{bmatrix}1 & 2 \\ \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2 & 0 \\ \\ 1 & 1 \end{bmatrix} $

   （c）$ \begin{bmatrix} 2 & 0 & 2 \\ \\ 0 & -1 & -3 \\ \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ \\ 2 \\ \\ 1 \end{bmatrix} $

3. 计算下列矩阵的转置矩阵

   （a）$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} $

   （b）$ \begin{bmatrix} x & y \\ \\ z & w \end{bmatrix} $

   （c）$ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ \\ 3 & 4 \\ \\ 5 & 6 \\ \\ 7 & 8 \end{bmatrix} $

4. 将下列线性组合写作向量与矩阵乘积的形式：

   （a）v = 2(1, 2, 3) − 4(−5, 0, −1) + 3(2, −2, 3)

   （b）v = 3(2, −4) + 2(1, 4) − 1(−2, −3) + 5(1, 1)

5. 证明：$ AB = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33}\end{bmatrix}\begin{bmatrix} B_{11} & B_{12} & B_{13} \\ B_{21} & B_{22} & B_{23} \\ B_{31} & B_{32} & B_{33} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \leftarrow A_{1,*}B \rightarrow \\ \\ \leftarrow A_{2,*}B \rightarrow\\ \\ \leftarrow A_{3,*}B \rightarrow \end{bmatrix} $

6. 证明：$ A\vec{u} = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = xA_{*,1} + y A_{*,2} + zA_{*,3} $

7. 证明向量的叉积可以用矩阵的乘积来表示：$ \vec{u} \times \vec{v} = \begin{bmatrix} v_x & v_y & v_z \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & u_z & -u_y \\ \\ -u_z & 0 & u_x \\ \\ u_y & -u_x & 0 \end{bmatrix} $

8. 设矩阵A = $ \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & -3 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $, 那么请问矩阵B = $ \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 & - \frac{1}{2} \\ 0 & -1 & -3 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $ 是 A 的逆矩阵吗

9. 设矩阵A = $ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} $, 那么请问矩阵B = $ \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix} $ 是A的逆矩阵吗

10. 求下列矩阵的行列式：$ \begin{bmatrix} 21 & -4 \\ 10 & 7 \end{bmatrix} 与 \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{bmatrix} $

11. 求下列矩阵的逆矩阵：$ \begin{bmatrix} 21 & -4 \\ 10 & 7 \end{bmatrix} 与 \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{bmatrix} $

12. 下列矩阵是可逆矩阵吗？\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ \\ 0 & 4 & 5 \\ \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

13. 假设矩阵A是可逆矩阵，证明 $ (A^{-1})^T = (A^T)^{-1} $

14. 所有的线性代数书籍都会证明 $ det(AB) = detA \cdot detB $这一性质。设A和B皆为 n x n 矩阵，并假设A是可逆的，试根据 $ det I = 1 $与上述性质来证明 $ detA^{-1} = \frac{1}{detA}$

15. 证明2D矩阵 $ \begin{bmatrix} u_x & u_y \\ v_x & v_y \end{bmatrix} $的行列式得到的是：由 $ \vec{u} = (u_x, u_y) $与向量 $ \vec{v} = (v_x, v_y) $ 张成的平行四边形的有向面积。如果向量 u 以逆时针方向旋转角θ ∈(0, π) 能与向量 v 重合，则结果为正，否则为负。

    

16. 求由下列向量张成的平行四边形面积：

    1. u = (3, 0)与 v = (1, 1)

    2. u = (−1, −1)与 v = (0, 1)

17. 设 A = $ \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix} $. B = $ \begin{bmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{bmatrix} $, C = $ \begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} \\ C_{21} & C_{22} \end{bmatrix} $。证明 A(BC) = (AB)C。这个结论说明了 2 × 2矩阵之间的乘法运算满足结合律。（事实上，只要矩阵的乘法有意义，任意规模的矩阵乘法都满足结合律。）

第一题

求解下列矩阵方程中的矩阵 X $ 3(\begin{bmatrix}-2 & 0\\ \\ 1 & 3\end{bmatrix}- 2X) = 2\begin{bmatrix}-2 & 0\\ \\ 1 & 3\end{bmatrix} $ $$ \begin{gather*} 3(\begin{bmatrix}-2 & 0\\ \\ 1 & 3\end{bmatrix}- 2X) = 2\begin{bmatrix}-2 & 0\\ \\ 1 & 3\end{bmatrix} \\ \\ \begin{bmatrix} -6 & 0 \\ \\ 3 & 9 \end{bmatrix} - 6X = \begin{bmatrix} -4 & 0 \\ \\ 2 & 6 \end{bmatrix} \\ \\ -6X = \begin{bmatrix} -4 & 0 \\ \\ 2 & 6 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -6 & 0 \\ \\ 3 & 9 \end{bmatrix} \\ \\ -6X = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ \\ -1 & -3 \end{bmatrix} \\ \\ X = \begin{bmatrix} -\frac{1}{3} & 0 \\ \\ \frac{1}{6} & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \end{gather*} $$

第二题

计算下列矩阵的乘积：

（a）$ \begin{bmatrix}-2 & 0 & 3 \\ \\ 4 & 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ \\ 0 & 6 \\ \\ 2 & -3 \end{bmatrix} $ $$ \begin{bmatrix}-2 & 0 & 3 \\ \\ 4 & 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ \\ 0 & 6 \\ \\ 2 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -7 \\ \\ 6 & 5 \end{bmatrix} $$ （b）$ \begin{bmatrix}1 & 2 \\ \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2 & 0 \\ \\ 1 & 1 \end{bmatrix} $ $$ \begin{bmatrix}1 & 2 \\ \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2 & 0 \\ \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ \\ -2 & 4 \end{bmatrix} $$ （c）$ \begin{bmatrix} 2 & 0 & 2 \\ \\ 0 & -1 & -3 \\ \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ \\ 2 \\ \\ 1 \end{bmatrix} $ $$ \begin{bmatrix} 2 & 0 & 2 \\ \\ 0 & -1 & -3 \\ \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ \\ 2 \\ \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ \\ -5 \\ \\ 1 \end{bmatrix} $$

第三题

计算下列矩阵的转置矩阵

（a）$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} $ $$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} $$ （b）$ \begin{bmatrix} x & y \\ \\ z & w \end{bmatrix} $ $$ \begin{bmatrix} x & y \\ \\ z & w \end{bmatrix} ^ T = \begin{bmatrix} x & z \\ \\ y & w \end{bmatrix} $$ （c）$ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ \\ 3 & 4 \\ \\ 5 & 6 \\ \\ 7 & 8 \end{bmatrix} $ $$ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ \\ 3 & 4 \\ \\ 5 & 6 \\ \\ 7 & 8 \end{bmatrix} ^ T = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 & 7 \\ \\ 2 & 4 & 6 & 8 \end{bmatrix} $$

第四题

将下列线性组合写作向量与矩阵乘积的形式：

（a）v = 2(1, 2, 3) − 4(−5, 0, −1) + 3(2, −2, 3) $$ \begin{bmatrix} 1 & -5 & 2 \\ \\ 2 & 0 & -2 \\ \\ 3 & -1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ \\ -4 \\ \\ 3 \end{bmatrix} $$

（b）v = 3(2, −4) + 2(1, 4) − 1(−2, −3) + 5(1, 1) $$ \begin{bmatrix} 2 & 1 & -2 & 1 \\ \\ -4 & 4 & -3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ \\ 2 \\ \\ -1 \\ \\ 5 \end{bmatrix} $$

第五题

证明：$ AB = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33}\end{bmatrix}\begin{bmatrix} B_{11} & B_{12} & B_{13} \\ B_{21} & B_{22} & B_{23} \\ B_{31} & B_{32} & B_{33} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \leftarrow A_{1,*}B \rightarrow \\ \\ \leftarrow A_{2,*}B \rightarrow\\ \\ \leftarrow A_{3,*}B \rightarrow \end{bmatrix} $ $$ AB = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} B_{11} & B_{12} & B_{13} \\ B_{21} & B_{22} & B_{23} \\ B_{31} & B_{32} & B_{33} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \leftarrow A_{1,*}B \rightarrow \\ \\ \leftarrow A_{2,*}B \rightarrow \\ \\ \leftarrow A_{3,*}B \rightarrow \end{bmatrix} $$

第六题

证明：$ A\vec{u} = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = xA_{*,1} + y A_{*,2} + zA_{*,3} $ $$ A\vec{u} = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = xA_{*,1} + y A_{*,2} + zA_{*,3} $$

第七题

证明向量的叉积可以用矩阵的乘积来表示：$ \vec{u} \times \vec{v} = \begin{bmatrix} v_x & v_y & v_z \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & u_z & -u_y \\ \\ -u_z & 0 & u_x \\ \\ u_y & -u_x & 0 \end{bmatrix} $ $$ \vec{u} \times \vec{v} = \begin{bmatrix} v_x & v_y & v_z \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & u_z & -u_y \\ \\ -u_z & 0 & u_x \\ \\ u_y & -u_x & 0 \end{bmatrix} $$

第八题

设矩阵A = $ \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & -3 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $, 那么请问矩阵B = $ \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 & - \frac{1}{2} \\ 0 & -1 & -3 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $ 是 A 的逆矩阵吗 $$ \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & -3 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 & - \frac{1}{2} \\ 0 & -1 & -3 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$

第九题

设矩阵A = $ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} $, 那么请问矩阵B = $ \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix} $ 是A的逆矩阵吗 $$ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix} $$

第十题

求下列矩阵的行列式：$ \begin{bmatrix} 21 & -4 \\ 10 & 7 \end{bmatrix} 与 \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{bmatrix} $ $$ \begin{bmatrix} 21 & -4 \\ 10 & 7 \end{bmatrix} 与 \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{bmatrix} $$

第十一题

求下列矩阵的逆矩阵：$ \begin{bmatrix} 21 & -4 \\ 10 & 7 \end{bmatrix} 与 \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{bmatrix} $ $$ \begin{bmatrix} 21 & -4 \\ 10 & 7 \end{bmatrix} 与 \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{bmatrix} $$

第十二题

下列矩阵是可逆矩阵吗？$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ \\ 0 & 4 & 5 \\ \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $ $$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ \\ 0 & 4 & 5 \\ \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$

第十三题

假设矩阵A是可逆矩阵，证明 $ (A^{-1})^T = (A^T)^{-1} $

第十四题

所有的线性代数书籍都会证明 $ det(AB) = detA \cdot detB $这一性质。设A和B皆为 n x n 矩阵，并假设A是可逆的，试根据 $ det I = 1 $与上述性质来证明 $ detA^{-1} = \frac{1}{detA}$

第十五题

证明2D矩阵 $ \begin{bmatrix} u_x & u_y \\ v_x & v_y \end{bmatrix} $的行列式得到的是：由 $ \vec{u} = (u_x, u_y) $与向量 $ \vec{v} = (v_x, v_y) $ 张成的平行四边形的有向面积。如果向量 u 以逆时针方向旋转角θ ∈(0, π) 能与向量 v 重合，则结果为正，否则为负。

第十六题

求由下列向量张成的平行四边形面积：

1. u = (3, 0)与 v = (1, 1)

2. u = (−1, −1)与 v = (0, 1)

第十七题

设 A = $ \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix} $. B = $ \begin{bmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{bmatrix} $, C = $ \begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} \\ C_{21} & C_{22} \end{bmatrix} $。证明 A(BC) = (AB)C。这个结论说明了 2 × 2矩阵之间的乘法运算满足结合律。（事实上，只要矩阵的乘法有意义，任意规模的矩阵乘法都满足结合律。）