微积分 - 导数的应用
函数的极值
绝对（全局）极值
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定义：绝对极值
设 $f$ 是定义域为 D 的函数，$ c \in D $，则 $f(c)$ 是：
- $f$ 是 D 上的绝对最大值，当且仅当对一切 $x \in D$，有 $ f(x) \leq f(c)$
- $f$ 是 D 上的绝对最小值，当且仅当对一切 $x \in D$，有 $ f(x) \neq f(c)$
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定理：连续函数的极值定理
如果 $ f(x) $ 是闭区间 $I$ 上的连续函数，那么 $ f(x) $ 在 $I$ 的某些点处即能取到其绝对最大值 M，也能取到绝对最小值 m
局部（相对）极值
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定义：局部极值
设 c 是函数 $f(x)$ 定义域的内点，则 $f(c)$是：
- 在 c 的局部最大值，当且仅当对包含 c 的某个开区间中的一切 x ，有 $ f(x) \leq f(c) $
- 在 c 的局部最小值，当且仅当对包含 c 的某个开区间中的一切 x ，有 $ f(x) \neq f(c) $
求极值
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定理：局部极值
如果函数 $f$ 在其定义域的内点 c 点取到局部最大值或局部最小值，又若在 c 点 $f’$ 存在，那么： $$ f’(c) = 0 $$
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定义：临界点
函数 $f$ 的定义域中的一点称为 $f$ 的临界点，如果在该点处 $ f’ = 0 $ 或者 $f’$ 不存在
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怎么求闭区间商连续函数的极值
- 第一步：计算$f$在所有临界点和端点处的值
- 第二步：从这些值中取最大和最小值
中值定理和微分方程
Roller 定理
假设 $ y = f(x) $ 在 [a，b] 的每一点连续，又连续它在（a，b）的每一点可微，如果： $$ f(a) = f(b) = 0 $$ 那么（a，b）中至少有一个数 c，$f’(c)$ = 0
中值定理
中值定理就是在斜线上的 Roller 定理
假设 $ y = f(x) $ 在闭区间[a，b]上连续而且在区间（a，b）的内点处可微，那么（a，b）中至少有一点 c ，使下述公式成立 $$ \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f’(c) $$
物理解释
把数 $(f(b) - f(a)) / (b - a)$ 设想为 $f$ 在 [a，b]上的平均变化率而 $f’(c)$ 是 $f$ 在 x = c 的瞬时变化率.
中值定理是说，在某个内点处的瞬时变化率一定等于整个区间上的平均变化率
数学推论
- 推论：导数为零的函数一定是常数函数
- 推论：在区间上具有相同导函数的函数互相差一个常数
微分方程以及抛射体的高度
微分方程就是把未知函数及其一个或多个导数联系在一起的方程
一个函数称为微分方程的一个解，若该函数的导数满足该微分方程
图形的形状
增函数和减函数的一阶导数检验法
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定义：增函数，减函数
设 $f$ 是定义在区间 I 上的函数，那么：
- $f$ 在 I 上是增函数，如果对所有 I 中的 $x_1$ 和 $x_2$，$x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$
- $f$ 在 I 上是减函数，如果对所有 I 中的 $x_1$ 和 $x_2$，$x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$
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推论：增函数和减函数的一阶导数检验法
假设 $f$ 在 [a，b] 上连续并在（a，b）上可微
如果在 （a，b）的每一点处 $f’ > 0$，那么$f$ 在 [a，b] 上是增函数
如果在 （a，b）的每一点处 $f’ < 0$，那么$f$ 在 [a，b] 上是减函数
局部极值的一阶导数检验法
在临界点 x = c 处
- $f$ 有局部最小值，如果 $f’$ 在 c 从负变到正
- $f$ 有局部最大值，如果 $f’$ 在 c 从正变到负
- $f$ 没有局部极值，如果 $f’$ 在 c 的两边正负号相同
凹性
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定义：凹形
可微函数 $y = f(x)$ 的图形是
- 在开区间 I 上凹向上的，如果 $y’$ 在 I 上递增
- 在开区间 I 上凹向下的，如果 $y’$ 在 I 上递减
凹形的二阶导数检验法
二次可微函数 $y = f(x)$ 的图形
- 在 $y’’ > 0$ 的任何区间上是凹向上的
- 在 $y’’ < 0$ 的任何区间上是凹向下的
拐点
一点称为函数的拐点，如果函数在该点有切线而且在该店改变函数的凹形
局部极值的二阶导数检验法
- 如果$f’(c) = 0$ 且 $f’’(c) < 0$，那么 $f$ 在 $x = c$ 取到局部最大值
- 如果$f’(c) = 0$ 且 $f’’(c) > 0$，那么 $f$ 在 $x = c$ 取到局部最小值
用手画 $ y = f(x) $ 的图形的一般步骤
- 求 $y’$ 和 $y’’$
- 求曲线的上升和下降空间
- 确定曲线的凹形
- 综合并展示曲线的总的样子
- 点出特定的点并粗略画出曲线的图形
从函数的导数了解函数
自治微分方程的图形解
平衡点和相直线
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自治微分方程
对方称 $y^2 = x + 1$ 隐式的求导数就给出： $$ 2y\frac{dy}{dx} = 1 \quad \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y} $$ 这一微分方程，其中 dy/dx 只是 y 的函数，称为自治微分方程
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定义：平衡点或者静止点
如果 dy/dx = g(y) 是自治微分方程，那么使得 dy/dx = 0 的 y 的值称为平衡点或静止点