微积分 - 导数

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2025-09-04 约 3342 字预计阅读 7 分钟次阅读

作为函数的导数

导数的定义

函数 $ f(x) $ 关于变量 x 的导数是 $f’$，他在 x 处的值为： $$ f’(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \quad 如果该极限存在 $$

例题（运用定义）

求 $ y = \sqrt{x}，x > 0 $ 的导数 $$ \begin{gather*} f(x) = \sqrt{x} \quad 而 f(x + h) = \sqrt{x + h} \\ \\ \frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \frac{\sqrt{x + h} - \sqrt{x}}{h} = \frac{(x + h) - x}{h(\sqrt{x + h} + \sqrt{x})} = \frac{1}{\sqrt{x + h} + \sqrt{x}} \\ \\ f’(x) = \lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + h} + \sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \end{gather*} $$
求曲线 $ y = \sqrt{x} $ 在 x = 4 处的切线 $$ \begin{gather*} 曲线在 x = 4 处的斜率为: f’(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{4} \\ \\ 切线就是过点(4, 2)且斜率为\frac{1}{4}的直线 \\ \\ y = 2 + \frac{1}{4}(x - 4) \\ \\ y = \frac{1}{4}x + 1 \end{gather*} $$

记号

常数函数、幂函数、函数乘以常数以及函数之和的导数

法则 1：常数函数的导数

如果 $f$ 取常数值 $ f(x) = c $，则： $$ \frac{df}{dx} = \frac{d}{dx}(c) = 0 $$

例题（运用法则 1）

如果 $f$ 取常数值 $ f(x) = 8 $，则： $$ \frac{df}{dx} = \frac{d}{dx}(8) = 0 $$ 法则 2：正整数幂法则

如果 n 是正整数，则： $$ \frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1} $$ 法则 3：乘常数法则

如果 u 是 x 的可微函数，而 c 是一常数，则： $$ \frac{d}{dx}(cu) = c \frac{du}{dx} $$ 法则 4：导数和法则

如果 u 和 v 都是 x 的可微函数，则和 u + v 在 u 和 v 都是可微的每点也是可微的，在这种点处，有： $$ \frac{d}{dx}(u + v) = \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx} $$

区间上的可微函数：单侧导数

函数 $ y = f(x) $ 在一（有限或无限）区间上可微，如果函数在区间的每点处可微，函数在闭区间 [a，b] 上可微，如果函数在区间内部区间（a，b）上可微而且在端点处下述极限存在 $$ \begin{gather*} \lim_{h \to 0^+} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} \quad a点处的右侧导数 \\ \\ \lim_{h \to 0^-} \frac{f(b + h) - f(b)}{h} \quad b点处的左侧导数 \end{gather*} $$

从估算值画 $ f’ $ 的图形

例题（画导函数的图形）

画图 2.9a 中函数 $ y = f(x) $ 的导数的图形

解：

我们画一对坐标轴，用 x 单位标记水平轴而以 $ y’ $ 单位标记纵轴，并在许多区间上粗略的画出 $f$ 图形的切线并用这些切线的斜率来估算这些点处 $ y’ = f’(x)$ 的值，标出相应的点 (x , y’) 并用光滑曲线把他们连接起来

从 $ y’ = f’(x) $ 的图形，我们一眼就能看出

何处 $f$ 的变化率是正、负或零
在某一 x 处增长率的粗略大小及其与 $f(x)$ 大小的关系
何处变化率本身是增长或递减的

可微函数是连续函数

在函数的导数存在的每一点处函数都是连续的

定理：可微性蕴含着连续性（逆定理不成立）

如果 $f$ 在 $ x = c$ 有导数，那么 $f$ 在 $ x = c $连续

导数的中间值性质

定理：导数的中间值性质

如果 a 和 b 是 $f$ 在其上可微的区间中的两个点，那么 $f’$ 一定取到 $f’(a)$和 $f’(b)$ 中间的每一个值

二阶和高阶导数

导数 $y’ = dy/dx $ 是 y 关于 x 的一阶导数。该导数本身就可能是 x 的可微函数；

如果是这样的话，他的导数 $ y’’ = \frac{dy’}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx}) = \frac{d^2y}{dx^2} $ 称为 y 关于 x 的 二阶导数

如果 $ y’’’ $ 是可微的，他的导数 $ y’’’ = \frac{dy’’}{dx} = \frac{d^3y}{dx^3} $ 就是 y 关于 x 的三阶导数

这个命名可以继续下去： $$ y^{(n)} = \frac{d}{dx}y^{(n - 1)} $$ 表示 y 关于 x 的 n （任何正整数 n）阶导数

例题（求高阶导数）

作为变化率的导数

瞬时变化率

定义：

$ f $ 关于 $ x $ 在 $ x_0 $ 的瞬时变化率就是导数

ps: 瞬时变化率是平均变化率的极限 $$ f’(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \quad 倘若该极限存在 $$

例题（圆面积怎样随直径变化）

圆面积 A 和直径的关系由下述方程表示，当直径为10米时面积关于直径的变化有多大？ $$ A = \frac{\pi}{4}D^2 $$ 解： 面积关于直径的变化率为： $$ \frac{dA}{dD} = \frac{\pi}{4} \cdot 2D = \frac{\pi D}{2} $$ 当 D = 10 米时，面积的变化率为： $$ (\frac{\pi D}{2})10 = 5 \pi ~~ m^2/m $$

沿直线的运动：位移、速度、速率、加速度和急推

假设物体正沿坐标轴线运动，所以我们知道物体在直线上的位置 s 是时间 t 的函数： $$ s = f(t) $$

物体从 $ t $ 到 $ t + \Delta t $ 时间间隔内的位移为： $$ \Delta s = f(t + \Delta t) - f(t) $$ 而在该时间间隔内的平均速度为： $$ v_{平均} = \frac{位移}{时间间隔} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{f(t + \Delta t) - f(t)}{\Delta t} $$ 为求物体在精确瞬间 t 的速度，我们取从 $t$ 到 $ t + \Delta t $ 时间间隔上的平均速度当 $ \Delta t $收缩为 0 时的极限，该极限是 $f$ 关于 t 的导数
定义：（瞬时）速度

瞬时速度是位置关于时间的导数，如果物体在时刻 t 的位置为 $ s = f(t) $，那么物体在时刻 t 的速度为： $$ v(t) = \frac{ds}{dt} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{f(t + \Delta t) - f(t)}{\Delta t} $$
定义：速率

速率是速度的绝对值 $$ 速率 = \mid v(t) \mid = \mid \frac{ds}{dt} \mid $$
加速度、急推

加速度是速度关于时间的导数，如果物体在时刻 t 的位置为 $ s = f(t) $，那么物体在 t 时刻的加速度为： $$ a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2s}{dt^2} $$ 急推是加速度关于时间的导数 $$ j(t) = \frac{da}{dt} = \frac{d^3s}{dt^3} $$

对变化的敏感性

当 x 的小的变化会引起函数值 $ f(x) $ 的大的变化时，我们就说该函数对 x 的变化时相对敏感的，导数 $ f’(x) $是这种敏感性的度量

经济学中的导数

工程师用术语：速度和加速度指称所描述运动的函数的导数，经济学家也有其指称变化率和导数的特殊的词汇，他们称其为边际

积、商以及负幂的导数

积

法则：导数的积法则

如果 u 和 v 在 x 都可微，那么他们的积 uv 也在 x 可微，而且： $$ \frac{d}{dx}(uv) = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx} $$

商

如果 u 和 v在 x 可微，又如果 $ v(x) \neq 0 $，那么商 u/v 在 x 可微，且有： $$ \frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{v\frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2} $$

x 的负整数次幂

法则：如果 n 是负整数，且 $ x \neq 0 $。那么： $$ \frac{d}{dx}(x ^ n) = nx^{n - 1} $$

三角函数的导数

正弦函数的导数

正弦函数的导数是余弦函数 $$ \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x $$

例题（与正弦函数有关的函数的导数）

$ y = x^2 - \sin x $ $$ \begin{align*} \frac{dy}{dx} &= 2x - \frac{d}{dx}(\sin x) \quad 差法则 \\ \\ &= 2x - \cos x \end{align*} $$
$ y = \frac{sinx}{x} $ $$ \begin{align*} \frac{dy}{dx} &= \frac{x \cdot \frac{d}{dx}(\sin x) - \sin x \cdot 1}{x^2} \quad 商法则 \\ \\ &= \frac{x \cos x - \sin x}{x^2} \end{align*} $$

余弦函数的导数

余弦函数的导数就是正弦函数取符号 $$ \frac{d}{dx}(\cos x) = - \sin x $$

简谐运动

在弹簧或蹦极绳索端点的物体的上下自由摆动就是简谐运动的一个例子

位置：$ s = 5 \cos t $
速度：$ v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(5 \cos t) = -5 \sin t $
加速度：$ a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(-5 \sin t) = -5 \cos t$

其他基本三角函数的导数

因为 $ \sin x $ 和 $ \cos x $ 都是 x 的可微函数，所以有关的函数： $$ \begin{align*} \tan x &= \frac{\sin x}{\cos x} \quad \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} \\ \\ \sec &= \frac{1}{\cos x} \quad \csc x = \frac{1}{\sin x} \end{align*} $$ 在他们有定义的每个 x 值处都是可微的，利用商法则计算得到的他们的导数，由下面的公式给出： $$ \begin{align*} \frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x \\ \\ \frac{d}{dx}(\sec x) = \sec x \tan x \\ \\ \frac{d}{dx}(\cot x) = - \csc^2 x \\ \\ \frac{d}{dx}(\csc x) = - \csc x \cot x \end{align*} $$

三角函数的连续性

因为六个基本三角函数在其定义域上都是可微的，所以他们在其定义域上都是连续的

除 x 是 $ \pi / 2 $ 的非零整数倍外 $ \sec x $ 和 $ \tan x $都是连续的，除 x 是 $ \pi $ 的整数倍外 csc x 和 cot x 都是连续的

对每个函数，当 $ f(c) $ 有定义时有 $ \displaystyle \lim_{x \to c} f(x) = f(c) $，因此，我们可以用直接代入法来计算三角函数的许多代数组合和复合函数的极限

例题（求三角函数的极限）

$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{2 + \sec x}}{\cos (\pi - \tan x)} = \frac{\sqrt{2 + \sec 0}}{\cos (\pi - \tan 0)} = \frac{\sqrt{2 + 1}}{\cos (\pi - 0)} = \frac{\sqrt{3}}{-1} = -\sqrt{3} $$

链式法则

复合函数的导数

1. 定理：链式法则

如果 $ f(u) $在点 $ u = g(x) $ 可微而 $ g(x) $ 在 x 可微, 那么复合函数 $ (f \circ g)(x) = f(g(x))在 x 可微 $，而且： $$ (f \circ g)’(x) = f’(g(x)) \cdot g’(x) $$ 用 Leibniz 的记号，如果 $ y = f(u) $ 而 $ u = g(x) $，那么： $$ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} $$ 其中 $ \frac{dy}{du} $是在 $ u = g(x) $处取值

外面 - 里面法则

用以下方式来想链式法则有时是会有助益的：如果 $ y = f(g(x)) $，那么： $$ \frac{dy}{dx} = f’(g(x)) \cdot g’(x) $$ 用文字表述就是对外面的函数 $f$ 求导并单独在里面的函数 $ g(x) $处取值，然后乘上里面函数的导数

累次应用链式法则

为求导数我们有时候要应用链式法则二次或多次

参数化曲线的斜率

dy/dx 的参数公式

如果三个导数都存在，且 $dx/dt \neq 0$，那么： $$ \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} $$

$ d^2y / dx^2 $ 的参数公式

如果方程 $x = f(t)$，$y = g(t) $ 定义 y 作为 x 的二次可微函数，那么在 $ dx / dt \neq 0 $的地方 $$ \frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{dy’/dt}{dx/dt} $$

幂链式法则

如果 $f$ 是 u 的可微函数，又若 u 是 x 的可微函数，那么把 $ y = f(u) $代入链式法则公式： $$ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} $$ 就导致公式： $$ \frac{d}{dx}f(u) = f’(u) \frac{du}{dx} $$

隐函数微分法

隐式定义的函数

方程 $ x^3 + y^3 - 9xy = 0 $ 的图形在几乎每一点都有明确定义的斜率，因为它是除原点和点 A 外都可微的函数 $ y = f_1(x) $，$ y = f_2(x) $，$ y = f_3(x) $ 的联合。

当我们不能很方便的解出这些函数时我们该怎么样求斜率呢？

隐函数求导的四个步骤

把 y 作为 x 的可微函数处理，方程两边对 x 求导数
对 dy / dx 并项到等式的一边
提出因子 dy / dx
解出 dy / dx

高阶导数

隐函数微分法也可以用来求高阶导数

可微函数的有理幂

如果 n 是一有理数，那么在 $ x^{n-1} $ 的定义域的每个内点处 x^n 是可微的，而且： $$ \frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1} $$

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