微积分 - 极限和连续
变化律和极限
平均和瞬时速度
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定义：
运动物体在一段时间区间上的平均速度是通过物体走过的距离除以所用的事件来求得的
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例题1（求平均速度）
一块岩石突然松动从峭壁顶上掉下来、掉下来的头2秒中岩石的平均速度是多少?
解:实验表明一块致密的固体在地球表面附近从静止状态自由落下,下落的头秒中下落的英尺数为： $$ y = 16t^2 $$ 在任何给定时间区间上岩石的平均速度是所走过的距离 $ \Delta y $ 除以时间区间的长度 $ \Delta t$，从 t = 0 到 t = 2 的头 2 秒的下落平均速度为： $$ \frac{\Delta y}{\Delta t} = \frac{16(2)^2 - 16(0)^2}{2 - 0} = 32 英尺/秒 $$
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例题2（求瞬时速度）
求例题1中岩石在时刻 $ t = 2 $ 的速度
我们可以计算从 $ t = 2 $ 到任何稍后一点的时间 $ t = 2 + h, h \geq 0 $ 的区间上的平均速度： $$ \frac{\Delta y}{\Delta t} = \frac{16(2 + h)^2 - 16(h)^2}{h} $$ 但是我们不能用该公式来计算在确切时刻 $ t = 2 $ 的速度，因为 这要求 $ h = 0 $，这样这个公式就无意义
我们可以计算 h 无限接近等于 0 的情况，当 h 趋于 0 的时候，平均速度趋于极限值 64英尺 / 秒 $$ \frac{\Delta y}{\Delta t} = \frac{16(2 + h)^2 - 16(h)^2}{h} = \frac{16(4+4h+h^2) - 64}{h} = \frac{64h + 16h^2}{h} = 64 + 16h $$
平均变化率和割线
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定义（平均变化率）
$ y = f(x) $ 关于 x 在区间 $ [x_1, x_2] $ 上的平均变化率是： $$ \frac{\Delta{y}}{\Delta{x}} = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = \frac{(x_1 + h) - f(x_1)}{h}, \quad h \neq 0 $$ 注意，几何上，平均变化率就是割线的斜率
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定义（割线）
几何上，连接曲线上两点的直线就是该曲线的割线，因此，$ f $ 从 $ x_1 $ 到 $ x_2 $ 的平均变化率就是割线的斜率
函数的极限
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定义（极限的非正式定义）
设 $ f(x) $ 除了可能在点 $ x_0 $ 没有定义外，在 $ x_ 0 $ 的一个开区间上均有定义，如果对充分靠近 $ x_0 $ 的 $x$，$ f(x) $ 能任意靠近 L ，那么我们就说当 x 趋于 $ x_0 $时，$ f $ 趋于 极限 L，并记作： $$ \lim_{x \to x_0} f(x) = L $$ 这个定义是非正式的，因为像 充分靠近 这些说法都是不确切的；比如对于研究遥远银河系的天文学家，靠近可能就意味着几千光年以内。但是这个定义是足够清楚的，能使我们识别和计算许多特定函数的极限
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定义（极限的精确定义）
设 $ f(x) $ 定义在 $ x_0 $ 的一个可能不包括 $x_0$ 的开区间上，我们说当 x 趋于 $x_0$ 时 $f(x)$ 趋于极限L，并记为： $$ \lim_{x \to x_0} f(x) = L $$ 如果，对任何数 $ \varepsilon > 0 $，存在相应的数 $ \delta > 0 $使得对所有满足 $ 0 < \mid x - x_0 \mid < \delta $的 x，有： $$ \mid f(x)-L \mid < \varepsilon $$
为说明 $ x \to x_0 $ 时 $ f(x) $ 的极限等于 数L，我们要证明：如果 $ x $ 充分接近 $ x_0 $，那么就可以使 $ f(x) $ 和 L 之间的差距 要有多小就有多小，如果我们规定了$ f(x) $ 和 L 之间的差距，我们来看看对 x 的要求是什么
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例题 8 （控制线性函数）
为确保输出 $ y = 2x - 1 $ 位于 $ y_0 = 7 $ 的 2个单位的范围内，输入x应该靠 $ x_0 = 4 $ 有多近？
解：问我们的是：对什么样的 x值有 $ \mid y - 7 \mid < 2 $? 为求得答案，我们首先用 x 表示 $ \mid y - 7 \mid $ $$ \mid y - 7 \mid = \mid (2x - 1) -7 \mid = \mid 2x - 8 \mid $$ 于是问题变成：什么样的 x值满足 $ \mid 2x - 8 \mid < 2 $?，为求出这些 x，我们解不等式： $$ \begin{gather*} \mid 2x - 8 \mid < 2 \\ \\ -2 < 2x - 8 < 2 \\ \\ 6 < 2x < 10 \\ \\ 3 < 2x < 5 \\ \\ -1 < x - 4 < 1 \end{gather*} $$ 故：使 x 保持和 $ x_0 = 4 $ 相距一个单位的距离就能使 y 保持在和 $ y_0 = 7 $ 相距 2个单位的距离内
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求极限和单侧极限
极限性质
极限法则
如果 L，M，c 和 k 都是实数，且： $$ \lim_{x \to c} f(x) = L \quad 和 \quad \lim_{x \to c} g(x) = M $$
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和法则
两个函数之和的极限等于他们的极限之和
$$ \lim_{x \to c}(f(x) + g(x)) = L + M $$
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差法则
两个函数之差的极限等于他们的极限之差 $$ \lim_{x \to c}(f(x) - g(x)) = L -M $$
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积法则
两个函数之积的极限等于他们的极限之积 $$ \lim_{x \to c}(f(x) \cdot g(x)) = L \cdot M $$
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乘常数法则
常数乘一个函数后的极限等于该常数乘该函数的极限 $$ \lim_{x \to c} (k \cdot f(x)) = k \cdot L $$
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商法则
两个函数之商的极限等于他们的极限之商，如果分母的极限不为零 $$ \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}，\quad m \neq 0 $$
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幂法则
如果 r 和 s 都是整数，并且 $ s \neq 0 $，那么： $$ \lim_{x \to c} (f(x))^{\frac{r}{s}} = L^{\frac{r}{s}} $$ 只要 $ L^{\frac{r}{s}} $ 是实数，函数的有理幂的极限等于该函数极限的同样的幂，如果后者是实数
可用代入法求多项式的极限
如果 $ P(x) = a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{0} $，那么： $$ \lim_{x \to c} P(x) = P(c) = a_n c^n + a_{n-1} c^{n-1} + \cdots + a_0 $$ 可用代入法求有理数的极限，如果分母的极限不等于零
如果 $ P(x) $ 和 $ P(Q) $ 都是多项式且 $ Q(c) \neq 0 $，那么： $$ \lim_{x \to -1} \frac{x^3 + 4x^2 - 3}{x^2 + 5} = \frac{(-1)^3 + 4(-1)^2 - 3}{(-1)^2 + 5} = \frac{0}{6} = 0 $$
代数地消去零分母
仅当有理函数的分母在极限点 c 处不为零时才能应用定理 （可用代入法求有理数的极限，如果分母的极限不等于零）。如果分母为 0，消去分子和分母的公因子可能会把公式化为分母在 c 处不再为零的分式。
三明治（夹逼）定理
如果我们不能直接求极限，我们可以用三明治（夹逼）定理间接地求极限。该定理适用于函数 $f$ 的值夹在另外两个函数 g 和 h 之间，如果 $ x \to c $ 时，g和h有相同的极限，那么 $f$ 也有同样的极限
单侧极限
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定义（双侧极限）
为使 $ x \to a $ 时有极限L，函数 $f$ 必须在 a 的双侧有定义，而且当 x从a 的双侧趋于 a 的时候函数值 $f(x)$ 必须趋于L，正因为这点，通常的极限都是双侧极限
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定义（单侧极限）
如果在 a 双侧极限不存在，仍有可能存在单侧极限，即只是从单侧趋向的极限；如果是从右侧趋向，该极限就是右侧极限了；如果是从左侧趋向，该极限就是左侧极限
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设 $ f(x) $ 定义在 (a, b) 上，$ a < b $。如果当 x 在区间(a, b) 内趋于 a 时 $f(x)$ 任意接近地趋于 L，那么我们就说 $f$ 在 a有右侧极限，并记作： $$ \lim_{x \to a^+} f(x) = L $$
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设 $ f(x) $ 定义在 (c, a) 上，$ c < a $。如果当 x 在区间(c, a) 内趋于 a 时 $f(x)$ 任意接近地趋于 M，那么我们就说 $f$ 在 a有左侧极限，并记作： $$ \lim_{x \to a^-} f(x) = M $$
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定理（单侧极限和双侧极限之间的关系）
当 $ x \to c $ 时函数 $ f(x) $ 有极限当且仅当 $ f $ 的左侧极限和右侧极限存在且相等： $$ \lim_{x \to c} f(x) = L \iff \lim_{x \to c^-} f(x) = L \quad 且 \quad \lim_{x \to c^+} f(x) = L $$
有关 $ (\sin \theta) / \theta $ 的极限
- 定理（有关$ (\sin \theta) / \theta $ 的最重要的事实就是在弧度度量下 当 $ x \to 0 $ 时其极限为 1） $$ \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1 \quad （\theta \text{为弧度}） $$
与无穷有关的极限
$ x \to \pm \infty $ 时的有限极限
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我们说 x 趋于无穷时 $ f(x) $ 有极限 L 并记作 $$ \lim_{x \to \infty} f(x) = L $$ 如果当 x 沿正向离开原点越来越远时，$f(x)$ 任意接近 L
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我们说 x 趋于负无穷时 $f(x)$有极限 L 并记作 $$ \lim_{x \to -\infty} f(x) = L $$ 如果当 x 沿负向离开原点越来越远时，$f(x)$ 任意接近 L
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$ x \to \pm \infty $ 极限法则
如果 L，M 和 k 都是实数，且 $$ \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = L\quad 和 \quad \lim_{x \to \pm \infty} g(x) = M \quad 那么： $$
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和法则 $$ \lim_{x \to \pm \infty}(f(x) + g(x)) = L + M $$
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差法则 $$ \lim_{x \to \pm \infty}(f(x) - g(x)) = L - M $$
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积法则 $$ \lim_{x \to \pm \infty}(f(x) \cdot g(x)) = L \cdot M $$
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常乘数法则 $$ \lim_{x \to \pm \infty}(k \cdot f(x)) = k \cdot L $$
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商法则 $$ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M} \quad M \neq 0 $$
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幂法则：如果 r 和 s 都是整数，并且 $s \neq 0$ 则： $$ \lim_{x \to \pm \infty} (f(x))^{r/s} = L^{r/s} $$
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$ x \to \pm \infty $ 时有理函数的极限
为 $ x \to \pm \infty $ 时确定有理函数的极限，分子和分母可以同除以分母中 x 的最高幂次，结果如何取决于有关多项式的次
水平和垂直渐近线：无穷极限
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直线 y = b 是 函数 $ y = f(x) $ 图形的水平渐近线，如果有： $$ \lim_{x \to \infty} f(x) = b \quad 或 \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) = b $$
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直线 x = a 是该图形的垂直渐近线，如果有： $$ \lim_{x \to a^+} f(x) = \pm \infty \quad 或 \quad \lim_{x \to a^-} f(x) = \pm \infty $$
例题（求渐近线）
$$ 求 \quad y = \frac{x + 3}{x + 2} \quad 的渐近线 $$
解：
我们对 $ x \to \pm \infty $ 和 $ x \to -2$(x = -2时分母为零)的形态感兴趣
如果我们通过(x + 2)除(x+3) 把一个有理函数重写为一个多项式加上余项，那么渐近线很快就显现出来了
结果是可把 y 重写为 $$ y = 1 + \frac{1}{x + 2} $$ 那么我们就知道该曲线是由 $ y = 1/x $的图形往上平移1单位并向左边平移2单位得到的
现在的渐近线不是坐标轴而是直线 y = 1 和 x = -2
在论三明治（夹逼）定理
对于 $ x \to \pm \infty $ 时极限的三明治（夹逼）定理也是成立的
例题（求 x 趋于 0 或者 $ \pm \infty $时的极限）
运用三明治（夹逼）定理求曲线的渐近线 $$ y = 2 + \frac{\sin{x}}{x} $$ 解：
我们对 $ x \to \pm \infty $ 和 $ x \to 0 $(分母为0)时函数的性态感兴趣
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$ x \to 0 $时的性态，我们知道 $ \lim_{x \to 0} (\sin x)/x = 1 $，所以再原点没有渐近线
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$ x \to \pm \infty $时的形态，因为 $ 0 \leq | \frac{\sin x}{x} | \leq | \frac{1}{x} |$，以及 $ \displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} | 1 /x | = 0 $，再有三明治（夹逼）定理我们有 $ \displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} (\sin x) / x = 0 $，因此： $$ \lim_{x \to \pm \infty} (2 + \frac{\sin x}{x}) = 2 + 0 = 2 $$ 而直线 $ y = 2 $ 从左侧和右侧都是该曲线的渐近线
这个例子说明曲线可以跨过他的一条渐近线，也许是跨过许多次
无穷极限的精确定义
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我们说 x 趋于 $ x_0 $ 时 $ f(x) $趋于无穷，并记作： $$ \lim_{x \to x_0} f(x) = \infty $$ 如果对任何正实数 B存在相应的 $ \delta > 0 $，使得对一切满足 $ 0 < | x - x_0| < \delta $ 的 x，有 $ f(x) > B $
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*我们说 x趋于$ x_0 $ 时 $ f(x) $趋于负无穷，并记作： $$ \lim_{x \to x_0} f(x) = -\infty $$ 如果对任何负实数 -B存在相应的 $ \delta > 0 $，使得对一切满足 $ 0 < | x - x_0| < \delta $ 的 x，有 $ f(x) < -B $
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在 $ x_0 $ 的单侧无穷极限的精确定义是类似的
终极性态模型和斜渐近线
对于数值很大的 x，我们有时候可以对复杂函数的性态用一个实际上以同样方式起作用的较为简单的函数作为该复杂函数的模型
函数 g 是：
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$f$的右侧终极性态模型，当且仅当： $$ \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = 1 $$
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$f$的左侧终极性态模型，当且仅当： $$ \lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = 1 $$
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函数的右侧，左侧终极性态模型不必是同一个函数
例题（求终极性态模型）
设 $ f(x) = x + e^{-x} $，试着证明 $ g(x) = x $是$ f $ 的右侧终极模型，而 $ h(x) = e^{-x} $ 是 $ f $ 的左侧终极模型
解：
在右边： $$ \begin{gather*} \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x + e^{-3}}{x} = \lim_{x \to \infty}(1 + \frac{e^{-x}}{x}) = 1 \\ \\ 因为 \lim_{x \to \infty} \frac{e^{-x}}{x} = 0 \end{gather*} $$ 在左边： $$ \begin{gather*} \lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x + e^-x}{-x} = \lim_{x \to -\infty} (\frac{x}{e^{-x}} + 1) = 1 \\ \\ 因为 \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{e^{-x}} = 0 \end{gather*} $$
斜渐进线
有些情形，比如上面例题（求终极性态模型）我们求得有理函数的终极性态模型，如果分子的次比分母的次大1，那么有理函数$ f(x) $的图形就有一条，斜渐近线
我们可以通过分子除以分母把 $f$表为一个线性函数再加上一项当 $ x \to \pm \infty $时趋于0的余项来求得渐近线的方程
例题（求一条斜渐近线）
求下面函数图形的斜渐近线： $$ f(x) = \frac{2x^2 - 3}{7x + 4} $$ 解：
由长除法，我们得知： $$ \begin{align*} f(x) &= \frac{2x^{2}+3}{7x+4} \\ \\ &=\underbrace{(\frac{2}{7}x-\frac{8}{49})}_{\text{线性函数}g(x)}+\underbrace{\frac{-115}{49(7x+4)}}_{\text{余项}} \end{align*} $$ 当 $x \to \pm \infty $时，给出 $ f $ 和 $ g $ 的图形间的垂直距离的余项趋于零，就使得（倾斜的）直线 $$ g(x) = \frac{2}{7}x - \frac{8}{49} $$ 成为 $ f $的图形的渐近线。函数 $g$ 是 $f$ 的右侧终极模型 也是 $ f $ 的左侧终极模型
连续性
在一点的连续性
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内点： 函数 $ f(x) $ 在其定义域的内点 c 处是连续的，如果： $$ \lim_{x \to c} f(x) = f(c) $$
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端点： 函数 $ f(x) $在其定义域的左端点 a 或者 右端点 b 是连续的，如果分别有： $$ \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a) \quad 或 \quad \lim_{x \to b^-} f(x) = f(b) $$
如果函数 $ f $ 在点 c 处不是连续的，我们就说 $ f $ 在 c 间断，而 c 是 $ f $ 的一个间断点。注意 c 不必在 $ f $ 的定义域中
函数 $ f $ 在其定义域的点 x = c 是右连续（从右侧连续）的，如果 $ \lim_{x \to c^+} f(x) = f(c) $
如果 $ \lim_{x \to c^-} f(x) = f(c) $，则 $f$ 在 c 是左连续的
连续性检验
函数 $ f(x) $在 x = c 连续，当且仅当它满足一下条件：
- $ f(c) $存在 （c 在 $f$ 的定义域中）
- $ \displaystyle \lim_{x \to c} f(x) $存在 （当 $ x \to c $时$f$有极限）
- $ \displaystyle \lim_{x \to c} f(x) = f(c)$ （极限等于函数值）
连续函数
函数在一个区间上连续当且仅当它在该区间的每一点连续。连续函数是在其定义域中每一点连续的函数
连续函数不一定在所有可能的区间上连续
代数组合
连续函数的代数组合，当他们有定义的时候，是连续的
连续函数的性质：
如果函数 $f$ 和 $g$ 在 x = c 连续，那么下列 $ f $ 和 $ g $的组合在 x = c 都是连续的
- 和：$ f + g $
- 差：$ f - g $
- 积：$ f \cdot g $
- 乘常数：$ k \cdot f $，对任何数 k
- 商：$ \frac{f}{g} $，倘若 $ g(c) \neq 0 $
复合函数
连续函数的复合函数是连续函数，因此像： $$ y = \sin(x^2) \quad 和 \quad y = | \cos x | $$ 如果 $ f $在 c 连续，而 g 在 $ f(c) $ 连续，那么复合函数 $ g \circ f $ 在 c 连续
例题（运用此定理）
说明下面函数是连续函数： $$ y = \mid \frac{x \sin x}{x^2 + 2} \mid $$ 解：
$ y = \mid x \sin x / x^2 + 2 \mid $ 的图形 揭示该函数在每个 x 值处连续，令：
$$
g(x) = \mid x \mid \quad 和 \quad f(x) = \mid \frac{x \sin x}{x^2 + 2} \mid
$$
连续函数的中间值定理
在闭区间 [a, b] 上连续的函数一定取到 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之间的每一个值
换言之，如果$y_0$是 $f(a)$和$f(b)$之间的任何值，那么 $y_0 = f(c)$ 对 [a, b]中的某个 c 成立
切线
什么是曲线的切线
- 从我们能计算的东西开始，即割线PQ的斜率
- 研究当点 Q 沿着曲线趋于点 P 时割线的极限
- 如果极限存在，就把他取做曲线在点 P 的斜率，并把过点 P 具有这个斜率的直线定义为曲线在点 P 的切线
求函数图形的切线
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定义：
曲线 $ y = f(x) $在点 P (x_0, f(x_0)) 的斜率是： $$ m = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \quad (倘若这个极限存在) $$ 曲线在点 P 的切线是过点 P 且以 m 为斜率的直线
变化率：在一点处的导数
下述表达式称为 $f$ 在 $x_0$ 的导数 $$ \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} $$ 如果我们将差商解释为割线的斜率，那么导数就给出了在 $ x = x_0 $点处曲线的斜率和切线的斜率
如果我们将差商解释为平均变化率，那么导数就给出了函数在 $ x = x_0 $处关于 x 的变化率