微积分 - 预备知识

直线

增量

1. 定义：

   当平面上一个质点从一点移动到另外一个点，其坐标的纯改变就是增量

2. 公式：

   如果一个质点从 $ (x_1, y_1) $ 移动到 $ (x_2, y_2) $，则其坐标的增量为： $$ \Delta{x} = x_2 - x_1 ~~~~~~~~~~~~~~~ \Delta{y} = y_2 - y_1 $$

3. 解释说明：

   质点就是物理学一个有质量但没有体积和形状的理想化模型

   $ \Delta $ 这个叫 Delta，他是差的意思，并不是相乘的意思

直线的斜率

1. 定义：

   每条非垂直的直线都会有一个斜率，每行进单位距离时高度的变化为直线的斜率

2. 公式：

   设 点$ P_1 (x_1, y_1) $ 和 点$ P_2 (x_2, y_2) $ 是非垂直直线L上的两个点，那么L的斜率为： $$ m = \frac{升高}{前进的距离} = \frac{\Delta{y}}{\Delta{x}} = \frac{(y_2 - y_1)}{(x_2 - x_1)} $$

3. 解释说明：

   习惯上用 m 表示斜率

   从这个公式我们也能看出，为什么垂直直线不会有斜率这个说法，因为当 $ \Delta{y} ~~ \Delta{x} $ 为 0 时，这个公式没有了意义

平行线与垂直线

1. 定义：

   • 当两个平行线与x轴夹角相等，因此，非垂直的平行线具有相同的斜率，反之，具有相同斜率的直线与x轴的夹角相等，所以是平行线。

   • 当两条非垂直直线 L1 和 L2 是互相垂直的，他的斜率 m1 和 m2 满足 m1m2 = -1，所以 每个斜率是另一个斜率的负倒数： $$ m_1m_2 = -1 ~~~~~ m_1 = - \frac{1}{m_2} ~~~~~~ m_2 = - \frac{1}{m_1} $$

   • 我们还可以反过来，从斜率确定垂直性：若 L 是斜率为 $ \frac{3}{4} $ 的直线,，任何斜率为 $ - \frac{4}{3} $ 的直线垂直于 L

2. 公式： $$ m_1m_2 = -1 $$

3. 推导：

   

   论证大致如下：用图 3 的记号就是：$ m_1=\tan\phi_1=\frac{a}{h} $ ，而 $ m_2=\tan\phi_2=-\frac{h}{a} $，那么：$ m_1m_2 = (\frac{a}{h}) (-\frac{h}{a}) = -1 $

直线的方程

点斜式方程

1. 定义：

   如果我们知道直线的斜率 m，和直线上任意一个点 $ P_1(x_1, y_1) $，那么我们可以写出任意非垂直线的方程，因为如果 P(x, y) 是直线上任意一点，那么他的斜率就是： $$ \begin{align*} & \frac{(y - y_1)}{(x - x_1)} = m \\ \\ & (y - y_1) = m(x - x_1) \\ \\ & y = m(x - x_1) + y_1 \end{align*} $$ 所以：$ y = m(x - x_1) + y_1 $ 是过点 $ (x_1, y_1) $，且斜率为 m 的直线的 点斜方程

2. 公式： $$ y = m(x - x_1) + y_1 $$

斜率 - 截距方程

1. 定义：

   • 非垂直直线和 y 轴的交点的 y轴坐标就是直线的 y截距

   • 非垂直直线和 x 轴的交点的 x轴坐标就是直线的 x截距

   • 斜率为 m 而 y截距为b的直线过 (0, b) ，所以： $$ y = m(x - 0) + b $$

2. 公式： $$ y = mx + b $$

3. 解释说明：

   此公式是 斜率为 m 而 y截距为b的直线的斜率 - 截距方程，也叫做斜截方程

   y截距一般用 b 表示，x截距一般用 a 表示

一般线性方程

1. 定义：

   如果 A和B 不全为0，则方程 Ax + By = C 的图形是一条直线，每条直线都有这种形式的方程，即使是一条具有不确定的斜率的直线

2. 公式： $$ Ax+By=C \quad(A\text{ 和}B\text{ 不全为 }0) $$

3. 解释说明：

   虽然一般线性方程的形式有助于快速识别直线，但斜率 - 截距形式使用计算器来画直线图形的输入形式

函数

什么是函数

1. 定义：

   从集合 D 到集合 R 的一个函数是对 D 中每个元素指定 R 中唯一确定的元素的一种规则

2. 解释说明：

   一个变量的值常常取决于另一个变量的值

   • 水达到沸点的温度取决于海拔高度（当你越往上走沸点降低）

   水的沸点 b 取决于 海拔高度 e； 我们称 b 为因变量，变量 e 为 自变量

   故对一个集合中的每个元素指定另一个集合中唯一确定的一个元素的规则成为函数

定义域和值域

1. 定义：

   函数的输入构成了函数的定义域，输出构成了函数的值域

2. 解释说明：

   我们要以某种方式限制定义域，我们要说出来，比如 $ y^2=2x^2,x^2>0 $

   自变量的许多实值函数的定义域和值域是区间或区间的组合，区间可以是开，闭，或半开以及有限无限的

3. 图片

   

增函数与减函数

1. 定义：

   如果当你从左往右走，函数的图形是上升的，那么该函数就是增函数

   如果当你从左往右走，函数的图形是下降的，那么该函数就是减函数

奇函数与偶函数

1. 定义：

   函数 y = f(x) 是 x 的偶函数，如果 $ f(-x)=f(x) $

   函数 y = f(x) 是 x 的偶函数，如果 $ f(-x)= - f(x) $

2. 性质：对称性

   偶函数的图形是关于 y 轴对称的，因为 $ f(-x)=f(x) $，点（x, y）位于该图形上当且仅当 （-x, y）也在该图形上

   奇函数的图形是关于 原点 对称的，因为 $ f(-x)= - f(x) $，点（x, y）位于该图形上当且仅当 （-x, -y）也在该图形上

分段定义的函数

1. 定义：

   可以通过在定义域的不同部分用不同的公式来定义函数

2. 例子： $$ y = f(x) = \begin{cases} -x,\quad x < 0 \\ \\ x^{2}, \quad 0 \leqslant x \leqslant 1 \\ \\ 1, \quad x>1 & \end{cases} $$

绝对值函数

1. 定义：

   绝对值函数 $ y = |x| $ 是由下述公式来定义的： $$ \mid x \mid = \begin{cases} -x, \quad x < 0 \\ \\ x, \quad x \geq 0& \end{cases} $$

2. 性质：

   • $$ \mid -a \mid \quad = \quad \mid a \mid $$

   • $$ \mid ab \mid \quad = \quad \mid a \mid \mid b \mid $$

   • $$ \mid \frac{a}{b} \mid \quad = \quad \frac{\mid a \mid}{\mid b \mid} $$

   • $$ \begin{array} {c}{a} & {+} & {b} \end{array} \quad \leqslant \quad \begin{array} {c}{a}&{+}&{b} \end{array}. $$

   • $$ \mid x\mid=\sqrt{x^2}. $$

3. 解释说明：

   绝对值函数就是偶函数，所以他是 y 轴对称的，因为符号 $ \sqrt{a} $ 表示 a 的非负数平方根，所以 $ \mid a \mid $ 另一种定义就是： $$ \mid x\mid=\sqrt{x^2}. $$

位移图形

1. 定义：

   • 为往上位移函数 $ y = f(x) $ 的图形，加一正常数到公式的右边，比如 $ y = x^2 + 1 $，就可以把图形往上移位1个单位
   • 为往下位移函数 $ y = f(x) $ 的图形，加一负常数到公式的右边，比如 $ y = x^2 - 1 $，就可以把图形往下移位1个单位
   • 往左位移函数 $ y = f(x) $ 的图形，将 x 加上常数，比如 $ y = (x + 1)^2 $，就可以把图形往左移位1个单位
   • 往右位移函数 $ y = f(x) $ 的图形，将 x 减上常数，比如 $ y = (x - 1)^2 $，就可以把图形往移位1个单位

2. 移位公式：

   • 垂直移位：$y$ = $f($ $x$ ) + $k$

     若 $k$ > 0,则向上移位 $k$ 个单位

     若 $k<0$,则向下移位 $\mid k\mid$ 个单位

   • 水平移位：$y$ = $f($ $x$ + $h$ )

     若 $h$ > 0,则向左移位 $h$ 个单位

     若 $h<0$,则向右移位 $\mid h\mid$ 个单位

复合函数

1. 定义：

   假定函数 g 的某些输出可以作为函数 f 的输入，那么函数 $ f(g(x)) $是 g 和 f 的复合函数

指数函数

指数函数

1. 定义：

   设 a 是不等于 1 的正实数，函数 $ f(x) = a^x $ 是底为 a 的指数函数。这个函数的定义域是 $(-\infty,\infty) $，值域为 $ (0,\infty) $

2. 定律：

   若 a > 0，b > 0，对所有实数 x, y，以下结果成立

   1. $$ a^x \cdot a^y = a^{x+y} $$

   2. $$ \frac{a^x}{a^y}=a^{x-y} $$

   3. $$ (a^x)^y = (a^y)^x = a^{xy} $$

   4. $$ a^x \cdot a^y = (ab)^x $$

   5. $$ \frac{a^x}{b^x} = (\frac{a}{b})^x $$

自然指数函数

1. 定义：

   自然指数函数就是以这个特殊的数字 e 为底的指数函数

2. 标准公式：

   k 是 非零常数 $$ y = e^{kx} $$

指数增长与指数衰减

函数 $ y = y_0 e^{kx} $ 是指数增长的模式，前提是 k > 0；如果 k < 0 ，那么这个函数就是指数衰减的模型

反函数和对数函数

一对一函数

1. 定义：

   函数 $ f(x) $ 在定义域 D 上是一对一的，若每当 $ a\neq b $ 时 $ f(a) \neq f(b) $

2. 图形性质：

   一对一函数 $ y = f(x) $ 的图形与任何水平直线相交至多一次（水平直线法则），如果他与水平直线相交多余两次，即他取同一y值多于一次的话，那么该函数就不是一对一的

反函数

1. 定义：

   由逆转一对一函数的定义域和值域定义的函数就是 $f$ 的反函数

   反函数 $ f $ 的记号是 $ f^{-1} $，念作 $f$ 逆。记住他的左上角的-1不是指数的意思

2. 反函数的测试：

   函数 $f$ 和 $g$ 是反函数对，当且仅当： $$ f(g(x)) = x \quad \text{并且} \quad g(f(x)) = x. $$ 这时，$ g = f^{-1} $ 而且 $ f = g^{-1} $

3. 怎么求反函数：

   第一步：借助 y 对 x解方程 $ y = f(x) $

   第二步：交换 x, y，得到公式将是 $ y = f^{-1}(x) $

对数函数

1. 定义：

   底为 a 的对数函数 $ y = \log_a x $ 是底为 a 的指数函数 $ y=a^{x}(a>0,a\neq1) $ 的反函数

   以 e 为底和以 10 为底 的对数的应用是很重要以至于计算器有专门计算他们的键，他们也有其专门的记号和名称

   • $ \log_{e}x\quad $写作 $ \quad\ln x. $
   • $ \log_{10}x \quad$ 写作 $ \quad \log x$

   函数 $ \ln x $ 称为自然对数函数，而 $ \log x $ 称为普通对数函数

2. $a^{x}$ 和 $\log_ax$ 的互为反函数性质：

   底为 $ a: $ $ a^{\log_ax},\quad\log_aa^x=2x,\quad a>0,a\neq1,x>0 $

   底为 $ e: $ $ \mathrm{e}^{\ln x}=-x,\quad\ln\mathrm{e}^x=-x,\quad x>0 $

3. 对数的算术性质（对任何的实数 x > 0 和 y > 0）：

   乘积法则：$ \log_axy=\log_ax+\log_ay $

   商法则：$ \log_{a}\frac{x}{y}=\log_{a}x-\log_{a}y $

   幂法则：$ \log_ax^y=y\log_ax $

4. 每个指数函数是自然指数函数的幂函数 $$ a^{x}=\mathrm{e}^{x\ln a} $$ 即：$ a^x $ 和 $ e^x $ 的 $ \ln{a} 次幂是同样的 $

5. 底变换公式：

   每个对数函数是自然对数函数的常数倍： $$ \log_ax=\frac{\ln x}{\ln a}\quad(a>0,a\neq1) $$

三角函数及其反函数

弧度

1. 定义：

   在单位圆中心处的 角 ACB 的弧度等于 ABC 从单位圆周上切割下的圆弧的长度

   

2. 转换公式： $$ \begin{gather*} 1\textbf{ 度 }= \frac \pi {180}( \approx 0. 02) 弧度 \quad 度到弧度：乘以\frac\pi{180} \\ \\ 1\textbf{ 弧 度 }= \frac {180}{- 7}( \approx 57) \textbf{度 } \quad 弧度到度：乘以\frac{180}{x} \end{gather*} $$

3. 三角函数公式定义：

   当弧度为 $\theta$ 的角置于半径为 r 的圆的标准位置时， $ \theta $ 的 6 个基本三角函数定义如下： $$ 正弦：\sin \theta = \frac y r \quad 余割: \csc \theta = \frac ry \\ \\ 余弦: \cos \theta = \frac xr \quad 正割: \sec \theta = \frac rx \\ \\ 正切: \tan \theta=\frac{y}{x} \quad 余切：\cot \theta=\frac{x}{y} $$

三角函数的图形

当我们在坐标平面上画三角函数的图形时，通常我们不用 $\theta$ 而用 x 来记自变量(弧度)

三角函数的值

如图40的圆周的半径 r = 1，定义 $ \sin \theta $ 和 $ \cos \theta $ 的方程就变成： $$ \cos \theta = x \quad \sin \theta = y $$ 于是我们可以直接从 点P坐标算出余弦和正弦的值。如果我们碰巧知道点P的坐标或者能从点P向下作垂线交于 x轴构成的锐角三角形间接知道点P坐标，我们也可以读出 x 和 y 的大小，他们的正负就由三角形的象限决定

周期性

1. 定义：

   函数 $ f(x) $ 是周期函数，如果存在正数p使得对每个 x 值有 $ f(x + p) = f(x) $, 最小的这样的 p 值就是 $f$ 的周期

2. 三角函数的周期： $$ \begin{aligned} \text{周期 }\pi: \quad &\tan(x+\pi)=\tan x \quad \cot(x+\pi)=\cot x \\ \\ \text{周期 }2\pi: \quad &\sin(x+2\pi)=\sin x \quad \cos(x+2\pi)=\cos x \\ \\ &\sec(x+2\pi)=\sec x \quad \csc(x+2\pi)=\csc x \end{aligned} $$

偶和奇三角函数

$ \cos x $ 和 $ \sec x $ 是偶函数，他们的图形关于 y 轴对称，而其余的四个基本三角函数都是奇函数

三角函数的变换

把函数的移位，伸展，压缩和反射应用于三角函数。下面的图解会提醒你怎么控制参数：

恒等式

1. $ \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 $

2. $ 1 + \tan^2 \theta = sec^2 \theta，\quad 1 + \cot^2 \theta = csc^2 \theta $

3. 和角公式： $$ \begin{gather*} \cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B \\ \\ \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \end{gather*} $$

4. 倍角公式（将和角公式中 A B 都用 $ \theta $ 代替）： $$ \begin{gather*} \cos 2 \theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \\ \\ \sin 2 \theta = 2\sin \theta \cos \theta \end{gather*} $$

5. 余弦定理（如果 a, b, c 是三角形 ABC的三条边，又如果 $ \theta $ 是 c边的对角）： $$ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \theta $$ 余弦定律推广了毕达哥拉斯定律 $$ 若 \theta = \frac{\pi}{2}，则 \cos \theta = 0，从而有 c^2 = a^2 + b^2 $$

反三角函数

与反正弦和反余弦有关的恒等式

1. $ \sin^{-1}(-x) = -\sin^{-1}x $
2. $ \cos^{-1}x + \cos^{-1}(-x) = \pi $
3. 对于 x > 0 $ \sin^{-1}x + \cos^{-1}x = \frac{\pi}{2} $

参数方程

平面曲线的参数化

1. 定义：

   如果 x 和 y 由 t 值 的区间上的函数 $ x = f(t), \quad y = g(t) $ 给出，那么由这些方程定义的点集$ (x, y) = (f(t), g(t)) $ 是一条参数曲线，方程成为曲线的参数方程